7. Похідна і її властивості. Методика вивчення похідної в шкільному курсі математики.

3 історії розвитку математичного аналізу відомо, що до відкриття похідної прийшли незалежно один від одного Г. Лейбніц і І. Ньютон (1643-1727), перший - розв'язуючи геометричну задачу про знаходження положення дотичної до кривої у певній точці, а другий - розв'язуючи задачу механіки про визначення миттєвої швидкості.

У вузівських курсах математичного аналізу для підведення студентів до означення похідної здебільшого розв'язують обидві задачі. У шкільному курсі через обмеженість часу найчастіше докладно розглядають одну з цих задач. Перевагу слід віддати задачі про миттєву швидкість, оскільки з нею учні вже ознайомились в курсі фізики, а на цьому етапі навчання доцільно оформити її розв'язання в термінах і символах математичного аналізу (приріст аргументу, приріст функції, границя функції). При цьому варто в процесі розв'язування чітко виділити чотири кроки, які розкривають зміст похідної і які доцільно виконувати надалі при виведенні формул і доведенні основних теорем про похідні.

Розглядаючи задачу про миттєву швидкість, треба звернути увагу учнів на те, що середня швидкість нерівномірного прямолінійного руху певною мірою характеризує його, проте вона часто не задовольняє потреб практики. Наприклад, диспетчерові автобусної станції досить знати середню швидкість, з якою автобус рухається від станції відправлення до кінцевого пункту, а автоінспекторові, який стежить за безпекою руху, важливо знати, з якою швидкістю рухався автобус у момент перетину залізничного переїзду, де не можна перевищувати швидкість.

Отже, виникає потреба вміти визначати швидкість у певний момент часу t₀.

Щоб учні неформально сприйняли означення миттєвої швидкості, варто на прикладі конкретної задачі з числовими даними показати, що значення середньої швидкості прямує до певної границі, яку природно вважати числовим значенням швидкості в даний момент часу t₀, тобто значенням миттєвої швидкості.

Означення. Похідною функції в точці х₀ називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля, а границя існує, тобто

Зауважимо, що перш ніж вводити поняття похідної, варто привчити учнів до трьох різних символів, що стосуються приросту функції і відношень її до приросту аргументу. Кроки 1) -4) фактично задають правило відшукання похідної.

Після введення означення доцільно знайти за його допомогою, виконуючи чотири кроки, похідні функцій , , , де с - стала. Однак перед цим важливо наголосити, що коли похідну шукають у певній точці х₀, то вона як границя є певним числом. Коли ж функція має похідну в кожній точці х інтервалу (а;b), то кожному значенню х відповідає певне значення похідної.

Отже, в такому разі похідна функції на інтервалі (а;b) є теж функцією, яку позначають символом або Коли функцію задано формулою, наприклад, , то похідну позначають і символом .

Для більш глибокого усвідомлення учнями означення похідної доцільно зразу ж з'ясувати її механічний і геометричний зміст. Механічний зміст похідної випливає з розглянутої задачі Про миттєву швидкість. Учні самі здатні зробити висновок, що похідна дорівнює миттєвій швидкості нерівномірного руху. Цим самим з'ясовується механічний зміст похідної.

Геометричний зміст похідної випливає із задачі про дотичну до кривої у певній точці: похідна в точці х₀ дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до кривої з додатним напрямком осі х у точці з абсцисою х₀.

З метою закріплення означення і алгоритму відшукання похідної за означенням (послідовним виконанням чотирьох кроків) корисно запропонувати учням у класі і як домашнє завдання обчислити похідні функцій у = 5х² -2х, у = х, у = сх у загальному вигляді і за певних значень аргументу х.

Основні правила диференціювання функції:

1) якщо , тобто похідна від сталої функції дорівнює нулю ( );

2) похідна незалежної змінної х дорівнює 1: ;

3) якщо функція f(x) диференційована в т. х, то і функція , де С – стале число, також диференційовна в т. х, причому , тобто сталий множник можна виносити за знак похідної;

4) якщо функції f(x) і (x) диференційовні в точці х, то і їх сума, різниця, добуток і частка також будуть диференційовні в точці х, причому

Основні теореми про похідні.

До таких слід віднести теореми: 1) про неперервність диференційованої в точці функції2) про похідну суми функцій; 3) про похідну добутку функцій; 4) про похідну частки двох функцій; 5) про похідну степеневої функції; 6) про похідну складної функції.

Остання теорема дає можливість розширити системи вправ на обчислення похідних і застосування похідної до різноманітних задач.

Перша із зазначених теорем стверджує достатню умову неперервності функції в точці і використовується при доведенні теорем про похідну добутку і частки двох функцій.