17) Методика вивчення перпендикулярності прямих і площин.

Зміст навчального матеріалу цієї теми можна розділити умовно на три блоки:

1. перпендикулярність прямих у просторі;

2. перпендикулярність прямої і площини;

3. перпендикулярність площин. І

Методична схема вивчення кожного блоку та сама, що і в попередній темі. Спочатку вводиться означення перпендикулярності відповідних об'єктів, потім формулюється і доводиться ознака їх перпендикулярності. Для прямої і площини розглядається задача на побудову перпендикулярних прямої і площини, доводяться єдиність такої площини та властивість перпендикулярної прямої і площини. Особливе місце і роль у цій темі належать навчальному матеріалу, що стосується перпендикуляра і похилої до площини та теореми про три перпендикуляри. Остання застосовується при розв'язуванні задач, пов'язаних з многогранниками і тілами обертання. Схемою доведення цієї теореми часто послуговуються в Задачах.

Тому важливо домогтися того, щоб усі учні вміли доводити теорему про три перпендикуляри.

у зв'язку з вивченням перпендикулярності прямих у просторі треба повторити відповідний матеріал з планіметрії і стереометрії. У навчальній і методичній літературі відомі два види означень перпендикулярних прямих у просторі:

1 )дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом (Погорєлов);

2) дві прямі називаються взаємно перпендикулярними, якщо кути між ними дорівнюють 90°.

Друге означення охоплює і прямі, які не перетинаються, зокрема мимобіжні прямі. Відповідно до цього прийнято і два види означень перпендикулярних прямої і площини:

1)пряма. що перетинає площину, називається перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, яка лежить в даній площині і проходить через точку перетину(Погорєлов);

2)пряма і площина називаються перпендикулярними, якщо пряма перпендикулярна до кожної прямої, яка лежить у площині.

Перевага першого означення для прямої і площини полягає в тому, що включення умови їх перетину в означення позбавляє необхідності спеціально доводити цей факт. Друге означення можна ввести в класах з поглибленим вивченням математики, доповнивши його умовою перетину прямої і площини (умова проходження прямої площини через точку перегину прямої і площини тут не вимагається). Таке означення полегшить доведення деяких теорем і розв'язування задач, зокрема теореми про три перпендикуляри.

Щодо означення перпендикулярних площин, то в учнів, за аналогією з означенням перпендикулярних прямих, виникає бажання означити їх як такі, що перетинаються під прямим кутом. Однак відразу ж виникає-проблема: що розуміти під кутом між площинами? У підручниках по-різному розв'язується ця проблема.| У підручнику О. В. Погорєлова дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площина, яка перпендикулярна до прямих перетину цих площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих!" У посібнику Л. С. Атанасяна та ін. спочатку вводиться означения двогранного кута, а відтак на" цій основі дається означення перпендикулярних площин. У посібнику О, Д. Александрова та ін. означення двох перпендикулярних площин вводиться на основі поняття перпендикулярності прямої і площини: дві площини називаються взаємно перпендикулярними, якщо в кожній з них через будь-яку точку проходить Пряма, перпендикулярна до другої площини.

Теореми, що стверджують ознаки перпендикулярності в просторі двох прямих, прямої і площини, двох площин, можна доводити різними способами. Здебільшого доведення виконуються шляхом розгляду паралелограмів і ланцюжка рівних трикутників. Разом з тим, наприклад, ознаку перпендикулярності прямої і площини, теорему про два перпендикуляри і теорему про три перпендикуляри можна було б довести векторним методом.

Ознака перпендикулярності двох прямих у просторі, яка сформульована в підручнику О. В. Погорєлова, практично не використовується в системі задач, а доведення її хоч і не складне, а все ж громіздке. Тому недоцільно приділяти багато уваги умінню відтворювати учнями це доведення.

Що стосується теореми про три перпендикуляри, то в традиційних підручниках геометрії розглядались дві окремі взаємно обернені теореми і робилось посилання при розв'язуванні задач на одну з них. У підручнику О. В. Погорєлова пропонується одна теорема про три перпендикуляри, до формулювання якої входять пряме і обернене твердження. Тому і в доведенні теореми варто виділити дві частини, в яких доводяться достатність і необхідність. Однак передусім, користуючись рисунком, доцільно символічно записати умову і висновок до кожної частини доведення . В цьому разі зручно виділити на рисунку кольоровою крейдою кожний» трьох перпендикулярів, про який йдеться в теоремі.

Доцільно звернути увагу учнів на те, що хоча в теоремі треба довести перпендикулярність двох прямих у просторі, скористатися ознакою перпендикулярності двох прямих у просторі тут не можна. Тому доведеться піти іншим шляхом, виконавши додаткову побудову і скориставшись властивістю перпендикулярних прямих і площин, ознакою та означенням перпендикулярності прямої і площини. Для глибшого усвідомлення всіма учнями кроків доведення доцільно оформити його у вигляді таблиці. Під час введення означень, доведень теорем і розв'язування задач на тему «Перпендикулярність прямих і площин» треба широко використовувати наочність, зокрема стереометричний ящик, моделі многогранників.