12. Алгебраїчний метод розв’язання конструктивних задач і його застосування.

Розділ геометрії, в якому вивчаються геометричні побудови, називають конструктивною геометрією. Основним поняттям конструктивної геометрії є поняття побудувати геометричну фігуру.

Сутність алгебраїчного методу полягає в наступному. Рішення задач на побудову зводиться до побудови деякого відрізка (або декількох відрізків). Величину шуканого відрізка виражають через величини відомих відрізків за допомогою формули. Потім будують шуканий відрізок по отриманій формулі.

Розв’язок конструктивної задачі – алгоритм побудови шуканої фігури.

Схема роз’язування конструктивних задач:

І етап – аналіз: шукають залежності, які випливають з умови і дають можливість побудувати алгоритм задачі;ІІ етап – побудова: реалізація знайденого алгоритму;

ІІІ етап – доведення; IV етап – дослідження: при яких даних задача має розв’язок? Скільки розв’язків має задача? тощо.

Задача 1(задача про подвоєння квадрата.) Побудувати квадрат, площа якого вдвічі більше площі даного квадрата.

Аналіз. Позначимо сторону даного квадрата через , а сторону шуканого квадрата через . Тоді .

Побудова. Будуємо тепер відрізок по отриманій формулі: – гіпотенуза рівнобедреного трикутника з катетом . Побудувавши відрізок , легко потім побудувати шуканий квадрат Рис. 1

Рис 1

Задача 2. З вершин даного трикутника, як із центрів, описати три окружності, що стосуються попарно зовнішнім образом.

Аналіз. Нехай АВС рис. 2– даний трикутник, а, b, c – його сторони, х, в, z – радіуси шуканих окружностей. Виразимо х, в, z через а, b, c.

Тоді

Тому

звідки , ,

Побудова.

Рис. 2.

1. Проводимо окружність S₁(A, x).

2. Проводимо окружність S₂(B, c – x).

3. Проводимо окружність S₃(C, b – x).

Доведення. Знайдемо суму радіусів окружностей S₂ і S₃:

= ВР.

Одержали, що сума радіусів дорівнює відстані між центрами окружностей, що й доводить торкання окружностей S₂ і S₃.

Дослідження. Задача завжди однозначно розв'язна, оскільки:

1. У трикутнику АВС сума сторін , і тому відрізок х може бути побудований.

1. , тому що тому що .

• , тому що