9. Методика вивчення первісної та інтегралу в шкільному курсі математики.

Темі "Первісна та інтеграл" передує тема "Похідна та її застосування". Така послідовність вивчення матеріалу створює передумови для: 1)розуміння учнями взаємозв'язку між операціями диференціювання та інтегрування функцій, а також основної ідеї методу диференціального й інтегрального числень; 2) усвідомлення учнями того факту, що апарат похідної та інтеграла - основа методу математичного аналізу. З одного боку, він виступає як мова, що описує багато явищ, процеси світу. З іншого - як інструмент, за допомогою якого з урахуванням особливостей мови досліджуються ці явища і процеси.  Основу змісту теми складають два типи питань, кожен з яких групується біля двох понять: "Первісна", "Інтеграл". Основна увага при вивченні приділяється: 1) знаходження первісних та обчислення інтегралів на базі таблиць первісних та правил знаходження первісних, 2) обчислення площ криволінійної трапеції.  В якості основних завдань, вирішених у процесі вивчення теми, можна виділити наступні:  ·– Введення понять первісної та інтеграла;  ·– Ознайомлення учнів з основними властивостями первісних і правилами знаходження первісних;  ·– Розкриття змісту операції інтегрування як операції, зворотної по відношенню до операції диференціювання заданої функції:  ·– Провести класифікацію типів завдань (знаходження площі криволінійної трапеції, знаходження об'єму тіла, завдання з фізичним змістом), показати, яким чином реалізується метод інтегрального числення. При цьому звернути увагу на виділення в процесі їх вирішення етапів, що характеризують процес математичного моделювання.  Теоретичний матеріал включає в себе поняття первісної та її основна властивість поняття інтеграла функції; зв'язок між поняттями "інтеграл" і "первообразная", яка встановлюється за допомогою формули Ньютона-Лейбніца; формула Ньютона-Лейбніца як апарат обчислення інтеграла даної функції.  Перераховані поняття вводяться на дедуктивної основі, дається ілюстрація використання визначення основного поняття, його властивостей за допомогою конкретних прикладів.  Завдання, крім використання їх як засобу ілюстрації вводиться в розгляд теоретичного матеріалу, служать засобом його закріплення, про що свідчать і їхні формулювання, наприклад: "Знайти таку первісну функцію, графік якої проходить через дану точку".  Функція    зветься первісною функції   на деякому інтервалі дійсних чисел, якщо   — похідна функції   на цьому інтервалі, тобто в усіх внутрішніх точках інтервалу виконується рівність

Можна довести, що у будь-якої неперервної на інтервалі функції   існує первісна, яка також є неперервною функцією на цьому інтервалі.

Якщо   — будь-яка первісна функція   то  , де C - довільна стала, — також первісна цієї функції і "невизначений інтеграл функції  " посилається до множини   яка складається з усіх первісних функції   де   — довільна константа.

Якщо у функції    існує первісна , то

Ця формула називається формулою Ньютона-Лейбніца, або основною формулою інтегрального числення.

10. Методика вивчення векторів на площині і у просторі.

Метод координат - це спосіб визначення положення точки, фігури або тіла за допомогою чисел або інших символів. Числа , за допомогою яких визначається положення точки, називаються координатами.

Перевага методу координат перед системним методом, за якого безпосередньо розглядаються фігури і кожна задача потребує особливого підходу, в його алгоритмічності. Справді, за допомогою методу координат кожна геометрична задача зводиться до алгебраїчної, а алгебраїчні задачі легше алгоритмізувати.

Відповідно до чинної програми вперше поняття „координатна пряма”, вводиться в курсі математики 5 класу; „прямокутна система координат на площині”, „Декартові координати” вводиться в курсі математики 6 класу. У курсі алгебри 7 – 9 класів здобуті знання і вміння застосовуються   при побудові графіків функцій, графічному розв’язуванні рівнянь, нерівностей та їх систем. У курсі геометрії 8 класу знову передбачені вивчення декартових координат і застосування методу координат до дослідження властивостей геометричних фігур і означення тригонометричних функцій кутів від 0^о та 180^о, вивчення функцій.

У підручнику О.В. Погорєлова тема „Декартові координати на площині” пропонується у 8 класі і широко використовується при вивченні властивостей геометричних фігур, векторів, паралельного перенесення. У підручнику Л.С. Атанасяна та ін. „Метод координат” передбачено вивчати у 9 класі після вивчення векторів і застосовувати його до розкладання векторів по двох не евклідових векторах , обчислення скалярного добутку векторів, розв’язання найпростіших задач в координатах   і виведення рівняння кола та прямої. Основна мета вивчення декартових координат в школі – сформувати поняття про координати точки на прямій і площині, вміння знаходити точку за її координатами і розв’язувати обернену задачу, знаходити відстань між двома точками і координати середини відрізка, застосовувати метод координат при розв’язуванні найпростіших задач і дальшому вивченні курсу математики та суміжних предметів.

Вектор - це напрямлений відрізок або вектор - це паралельний перенос.

Якщо початок і кінець співпадають, вектор називають нульовим або О-вектор. Два вектори називають рівними, якщо їх довжини рівні, а напрями співпадають.

Вектори, які лежать на паралельних прямих, називають колінеарними.

(а якщо ця умова не виконується, то не колінеарними)

Вектори, які лежать в одній площині, називають компланарними (а якщо

ця умова не виконується, не компланарними).

- не компланарні

- компланарні

Додавання векторів. Правило трикутника. Правило паралелограма.

Сумою двох не колінеарних векторів, що виходять з однієї точки, єдіагональ паралелограма, побудованого на цих векторах, яка виходить з цієї ж точки.

Правило паралелепіпеда

Сумою трьох не колінеарних векторів, що виходять з однієї точки, єдіагональ паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, яка виходить з цієї ж точки.

Властивості додавання:

— комутативність

— асоціативність

Віднімання векторів:

Щоб відняти два вектори, потрібно відкласти їх від спільної точки, з'єднати кінці і стрілку поставити до того вектора, від якого віднімаємо.

Множення вектора на число: якщо k > 0 та протилежний до нього, якщо k < 0.

Скалярний добуток векторів:

Скалярним добутком двох векторів називають число, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.