Тема 9. Непрерывность функции.

Если функция определена всюду в некоторой окрестности точки(левой полуокрестности, правой полуокрестности) и(,), то функцияназываетсянепрерывной в точке (непрерывной слева, непрерывной справа).

Каждая основная элементарная функция непрерывна в каждой внутренней точке своей области определения и непрерывна слева (справа) в крайней правой (крайней левой) точке области определения.

Если в точке , тоназываетсяточкой разрыва функции . При этом различают следующие случаи:

1) Если , тоназываетсяточкой устранимого разрыва функции .

2) Если в точке функцияимеет конечные односторонние пределыи, но они не равны друг другу, тоназываетсяточкой разрыва 1-ого рода.

3) В остальных случаях называетсяточкой разрыва 2-ого рода .

Функция называетсянепрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой его точке (в точке- непрерывна справа, в точке- непрерывна слева). Функциянепрерывная на отрезкеобладает свойствами:1) ограничена на ;2) достигает на отрезке своего наименьшего значенияи наибольшего значения;3) для любого числа , заключённого между числамии, всегда найдётся точкатакая, что;4) если , то всегда найдётся точкатакая, что.