Тема 10. Комплексные числа и многочлены.

Комплексным числом называется число вида , где,-действительные числа, символ- мнимая единица, для которой. Число- называется действительной частью комплексного числа, число- мнимой частью. Комплексное числосовпадает с действительным, а числоназывается чисто мнимым. Множество всех комплексных чисел обозначается.

Комплексное число изображается на плоскости с системой координат(называемой комплексной плоскостью) точкой, обозначаемой той же буквойи имеющей координаты. Действительные числа изображаются точками оси абсцисс, а чисто мнимые – оси ординат (поэтому осьназывается действительной осью, а ось- мнимой осью). Комплексное число на комплексной плоскости изображается также радиус-вектором точки. Длина радиус-вектора называетсямодулем комплексного числа: , а угол его с осьюназываетсяаргументом комплексного числа: ,. Аргумент комплексного числа вычисляют, как правило, по формуле:.

Комплексно-сопряжённым числу называется число.

Представление комплексного числа выражением называется алгебраической формой комплексного числа, а выражением -тригонометрической формой комплексного числа.

Арифметические действия (сложение, вычитание, умножение) над комплексными числами в алгебраической форме выполняют по правилам действий над многочленами, с учётом того, что :

;

.

Деление комплексных чисел выполняют следующим образом: .

Возведение комплексного числа в натуральную степеньвыполняют, используяформулу Муавра: .Полученный результат представляют затем в алгебраической форме.

Извлечение корня -ой степени из комплексного числа(не равного нулю) выполняют по формуле:

,

(здесь - действительное положительное число). Таким образом, корень степенииз комплексного числа имеетразличных значений, расположенных на комплексной плоскости на окружности радиуса.

Алгебраическим многочленом степени называется выражение вида:

,

где ,- некоторые числа (вообще говоря, комплексные), называемые коэффициентами многочлена, причём.

Алгебраическим уравнением степени называется уравнение вида Число, для которогоназываетсякорнем многочлена или уравнения.

Теорема Безу. Число является корнем многочленатогда и только тогда, когдаделится на, т.е. когдапредставляется в виде:, где- многочлен степени.

Число называетсякорнем кратности многочлена , если, где.

Для многочленов имеет место следующая теорема:

Теорема Гаусса (основная теорема алгебры). Всякий многочлен ненулевой степени имеет ровнокорней, если каждый корень считать ровно столько раз, какова его кратность .

Всякий многочлен с действительными коэффициентами всегда можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с действительными коэффициентами.

Всякий квадратный многочлен с действительными коэффициентами на множестве комплексных чисел всегда можно разложить в произведение линейных множителей:, где корни многочленаинаходятся по формулам:

1) если , то- действительные;

2) если , то- комплексно-сопряжённые.

Для нахождения корней алгебраического уравнения с действительными коэффициентами поступают, как правило, следующим образом: находят один из корней подбором (например, корнем может быть целый делитель свободного слагаемого), а затем, последовательно применяя теорему Безу, сводят нахождение корней уравненияк нахождению корней линейных и квадратных уравнений.