Ряд Фурье по тригонометрической системе функций . Теорема Дирихле

Пусть функция  абсолютно интегрируема на отрезке , то есть существует  . Тогда ей можно поставить в соответствие ее тригонометрический ряд Фурье: . Коэффициенты тригонометрического ряда Фурье называют коэффициентами Фурье и вычисляют по формулам Эйлера-Фурье: . Если функция  кусочно-гладкая на отрезке , то ее тригонометрический ряд Фурье сходится в каждой точке этого отрезка. При этом, если   - сумма ряда Фурье, то для любого       . То есть, если   непрерывна в точке , то  . Если в точке  у   разрыв первого рода, то ряд Фурье сходится к среднеарифметическому левого и правого пределов функции в точке .

Дирихле:

Будем говорить, что функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке [a,b], если выполняются условия:

1. f(t) непрерывна на [a,b] или имеет лишь конечное число точек разрыва первого рода.

2. f(t) монотонна на отрезке [a,b] (подразумевается строгая и нестрогая монотонность), либо функция имеет лишь конечное число экстремумов на [a,b]

Теорема Дирихле.

Пусть f T-периодическая функция и на любом отрезке [a,b] удовлетворяет условиям Дирихле, тогда:

1. Ряд Фурье сходится на всей числовой оси.

2. Сумма ряда Фурье равна f(t) во всех точках непрерывности этой функции

3. В точках разрыва первого рода сумма ряда Фурье равна полусумме левого и правого пределов функции f(t) в этих точках разрыва.

Пусть S(t) сумма ряда Фурье, тогда 3е условие теоремы аналитически записывают следующим образом:

ti – точка разрыва 1го рода.

45. Содержание

    • Определение двойного интеграла
    • Свойства двойного интеграла
    • Приведение двойного интеграла к повторным в случае прямоугольной области
    • Приведение двойного интеграла к повторным в случае криволинейной области
    • Замена переменных в двойном интеграле
    • Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат
    • Двойной интеграл в полярных координатах
    • Вычисление объема с помощью двойного интеграла
    • Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла
    • Тройной интеграл и его свойства
    • Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат
    • Замена переменных в тройном интеграле
    • Вычисление тройного интеграла в цилиндрической и сферической системах координат
    • Криволинейные интегралы первого рода. Свойства
    • Вычисление криволинейных интегралов первого рода
    • Криволинейные интегралы второго рода. Свойства. Вычисление
    • Теорема Грина-Римана
    • Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования (случай плоской кривой)
    • Поверхностный интеграл первого рода. Свойства. Вычисление
    • Поверхностный интеграл второго рода. Свойства. Вычисление
    • Теорема Остроградского –Гаусса
    • Теорема Стокса (без доказательства). Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования (случай пространственной кривой)
    • Элементы теории поля
    • Множество комплексных чисел. Стереографическая проекция
    • Дифференцируемость функции комплексного переменного
    • Условия Коши-Римана
    • Интеграл от функции комплексного переменного. Свойства. Вычисление
    • Теоремы Коши для аналитической функции в односвязной области
    • Теоремы Коши для аналитической функции в многосвязной области
    • Интегральная формула Коши для аналитической функции
    • Ряд Тейлора аналитической функции
    • Изолированные особые точки аналитической функции
    • Вычет в изолированной особой точке
    • Вычисление вычетов в изолированной особой точке
    • Основная теорема о вычетах
    • Ортогональность тригонометрической системы функций
    • Ряд Фурье по тригонометрической системе функций . Теорема Дирихле
    • Тригонометрический ряд Фурье для четных и нечетных функций
    • Тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме
    • Прямое и обратное преобразование Фурье