Перспектива

Определение: Центральной проекцией или перспективой прямой ℓ на прямую ℓ' из точки S называется отображение при котором каждой точке А прямой ℓ ставится в соответствие точка А' прямой ℓ' такая что А'= ℓ ' ∩ (SА).

Свойства:

1. Перспектива является взаимнооднозначным отображением в силу того, что любые две прямые имеют одну и только одну общую точку.

2. При перспективе сохраняется сложное отношение четырёх точек лежащих на одной прямой (по свойствам сложного отношения).

3. Если обозначить ℓ ∩ ℓ' = М , тогда точка М отображается сама в себя, т.е. при перспективе прямой на прямую точка пересечения этих прямых переходит сама в себя.

Доказательство. Пусть М → М′ ≠ М,

по определению М ′=(SМ)∩ℓ ', но М ℓ′ М = ℓ '∩(SМ). □

Теорема 1. Для того, чтобы отображение прямой на прямую было перспективой необходимо и достаточно чтобы при этом отображении точка пересечения этих прямых переходила в себя.

Доказательство. Необходимость следует из свойства (3).

Достаточность: φ: ℓ₁ → ℓ₂ и М : φ(М)=М, причем М= ℓ₁∩ℓ₂ .

Возьмем точки А₁ , В₁ ℓ₁ , найдем φ(А₁)=А₂ и φ(В₁)=В₂ ℓ₂ .

Таким образом φ : А₁ , В₁ , М → А₂ , В₂ , М , причем это отображение единственное, но (А₁В₁)∩(А₂В₂)=S - единственная точка. Отсюда следует, что существует перспектива прямой ℓ₁ на прямую ℓ₂ из точки S .

Так как отображение единственное - это и есть перспектива. □

Теорема 2. Пусть даны две тройки точек: А₁, В₁, С₁ℓ₁ и А₂, В₂, С₂ ℓ₂ , причем в каждой тройке точки различны, тогда φ : ℓ₁ → ℓ₂ , такое что φ(А₁)=А₂ , φ(В₁)=В₂ , φ(С₁)=С₂.

Доказательство. Докажем построением. Возможны два случая.

1 случай: ℓ₁ ≠ ℓ₂ .

1. Проводим прямую (А₁А₂) и берем на ней две произвольные точки S₁ и S₂ отличные от А₁ и А₂ .

2. В₀ =(S₁В₁)∩(S₂В₂), С₀ =(S₁С₁)∩(S₂С₂), А₀ =(В₀С₀)∩(S₁S₂),

3. Рассмотрим отображения φ₁ : ℓ₁ → (В₀С₀) - перспектива с центром S₁ и φ₂ : (В₀С₀) → ℓ₂ - перспектива с центром S₂, тогда искомое проективное преобразование φ = φ₂ ◦ φ₁ . так как φ₁ и φ₂ - проективные преобразования, то φ - тоже проективное преобразование.

4. М₀ =(S₁М₁)∩(В₀С₀), М₂ =(S₂М₀)∩ ℓ₂ - образ точки М₁.

2 случай ℓ₁ = ℓ₂ .

1. Проводим произвольную прямую ℓ₃ , берем произвольную т. S₃ не инцидентную прямым ℓ₁ и ℓ₃ .

2. А₃=(S₃А₁)∩ ℓ₃ ,

В₃=(S₃В₁)∩ ℓ₃ ,

С₃=(S₃С₁)∩ ℓ₃ .

3. Проводим прямую (А₂А₃) и берем на ней две произвольные точки S₁ и S₂ отличные от А₂ и А₃ .

4. С₀ =(S₁С₃)∩(S₂С₂), В₀ =(S₁В₃)∩(S₂В₂), А₀ =(В₀С₀)∩(S₁S₂).

5. Рассмотрим отображения:

φ₃ : ℓ₁ → ℓ₃ - перспектива с центром S₃

φ₁ : ℓ₃ → (В₀С₀) - перспектива с центром S₁

φ₂ : (В₀С₀) → ℓ₁ = ℓ₂ - перспектива с центром S₂,

тогда искомое проективное преобразование

φ = φ₂ ◦ φ₁ ◦ φ₃ .

6. М₃=(S₃М₁)∩ℓ₃, М₀ =(S₁М₃)∩(В₀С₀), М₂ =(S₂М₀)∩ℓ₁ .

Вывод: Проективное отображение прямой на прямую задается двумя тройками различных точек.

Вывод: Любое проективное отображение прямой можно разложить на композицию не более трех перспектив:

1. Если ℓ₁ = ℓ₂ - три перспективы.

2. Если ℓ₁ ≠ ℓ₂ - не более двух перспектив.

3. Если ℓ₁ ≠ ℓ₂ и (А₁А₂)∩(В₁В₂)∩(С₁С₂)= S - одна перспектива с центром в точке S.

Построение образов и прообразов точек.

Найти образ М₁ ℓ₁ .

1 случай: М₀ =(S₁М₁)∩(В₀С₀), М₂ =(S₂М₀)∩ ℓ₂ - образ точки М₁

2 случай: М₃=(S₃М₁)∩ℓ₃ , М₀=(S₁М₃)∩(В₀С₀), М₂=(S₂М₀)∩ℓ₁ - образ точки М₁.

Найти прообраз К₂ ℓ₂

1 случай: К₀ =(S₂К₂)∩(В₀С₀), К₁ =(S₁К₀)∩ ℓ₁ - прообраз точки К₂ .

2 случай: К₀=(S₂К2₃)∩(В₀С₀), К₃=(S₁К₀)∩ℓ₃ , К₁=(S₃К₃)∩ℓ₁ - прообраз точки.

Построение самостоятельно.

Задача. По рисунку восстановите порядок построения.

Теорема Паппа. Пусть ℓ₁ и ℓ₂ различные прямые.

На одной из них выбраны различные точки

А₁ , А₃ , А₅ℓ₁ на другой А₂ , А₄ , А₆ℓ₂ .

Тогда точки (А₁А₂)∩(А₄А₅)=P, (А₂А₃)∩(А₅А₆)=Q, (А₃А₄)∩(А₆А₁)=R - инцидентны одной прямой.

Доказательство. Самостоятельно.

1 способ: Рассмотрите репер R(А₁,А₂,А₃,А₄), найдите координаты остальных точек и примените условие коллинеарности для точек P, Q , R.

2 способ: Выделите перспективы.

3 способ. Рассмотрите как частный случай теоремы Паскаля.