Простое отношение

Среди любых трех точек лежащих на одной прямой (евклидовой), одна всегда лежит между двумя другими.

Определение: Простым отношением трех различных точек А, В, Сl называется число λ такое, что .

Тогда λ=±.

Обозначение: λ=(АВ,С)

Если С (АВ), тогда , а значит λ > 0.

Если С (АВ), тогда , а значит λ < 0.

При λ = 0 получим А=С, при λ = - 1 получим А=В. Но точки А, В, С различны, значит λ ≠ 0 и λ ≠ - 1.

На расширенной евклидовой плоскости возможно в случае, когда С_∞.

Будем считать на расширенной евклидовой прямой, что (АВ,С_∞) = -1.

Пусть точки имеют аффинные координаты А(α), В(β), С(γ). Тогда вектор = ( γ - α ), а вектор = ( β – γ ).

( γ - α ) = λ∙( β – γ ) λ = - здесь уже учтен знак простого отношения.

Схема для запоминания формула для вычисления

Задача. Даны аффинные координаты точек А(3), В(-2), С(2), М(3,5). Найти простые отношения (АВ,С), (ВС,А), (ВС,М), (СМ,А).

Решение.

(АВ,С) = = 0,25, ( ).

(ВС,А) == -5, ( ).

(ВС,М) =, ( )

(СМ,А) = = 2, ( ).