Координаты точки и уравнение прямой в пространстве

Рассмотрим п –мерное проективное пространство P_п.

Определение: Е₁ , Е₂ ,…, Е_п+1 , Е - упорядоченная система различных точек среди которых никакие три не лежат на одной прямой (Р₁), никакие четыре не лежат на одной плоскости (Р₂), никакие пять не принадлежат (Р₃), и т.д. называется проективным репером в пространстве P_п.

Обозначение: R(Е₁, Е₂, …, Е_п+1, Е) - проективный репер на прямой.

Названия: Е₁, Е₂,… , Е_п+1 - вершины репера или базисные точки,

Е - единичная точка,

(Е₁Е₂), (Е₁Е₃), …, (Е_пЕ_п+1) - координатные прямые.

Проективное пространство P_п порождается V_п+1.

Пусть Е₁, Е₂,…, Е_п+1, Е порождаются - ē₁ , ē₂ ,…, ē_п+1 , ē V_п+1.

Векторы ē₁ , ē₂ ,…, ē_п+1 – линейно независимы (почему?), а значит могут быть базисом в V_п+1.

Определение: Система векторов ē₁ , ē₂ , ,…, ē_п+1 , ē - называется согласованной,

если ē₁+ē₂ +…+ ē_п+1 =ē.

Пусть ē₁, ē₂, ,…, ē_п+1 , ē - согласованная система векторов и пусть точка МP_п порождается вектором , тогда = х₁∙ē₁+ х₂∙ē₂ +…+ х_п+1 ∙ē_п+1

Определение: Набор чисел ( х₁ : х₂ : … : х_п+1 ) называется координатами точки в данном репере.

По аналогии с проективной прямой и проективной плоскостью, координаты точки в P_п определяются с точностью до пропорциональности.

Точки могут лежать на одной прямой или не лежать на одной прямой.

1. А, В, С P₁ , тогда векторы , , L₂ , , - линейно-зависимы α, β такие, что = α∙ā + β∙

=α∙+ β∙, или rg= 2.

2. А, В P₁ и С P₁ , тогда векторы , , L₂

, , - линейно-независимы ≠ α∙+ β∙

≠ α∙+ β∙, или rg≠ 2.

Пусть даны две различные точки А и В, по свойствам Р_п через две различные точки проходит одна и только одна прямая - (АВ).

Пусть точка Х (АВ), тогда = λ∙+ μ∙ или Х=λ∙А+ μ∙В – параметрическое уравнение прямой в пространстве.

Замечание: В проективном пространстве прямая может задаваться только параметрическим уравнением (сравнить с заданием прямой в евклидовом пространстве).

Однородное уравнение вида и₁ х₁+ и₂ х₂+…+ и_п+1 х_п+1 = 0 не будет задавать прямую.