Взаимное расположение прямой и квадрики

Пусть дана овальная квадрика Х ^Т∙Q∙Х =0 и прямая (АВ).

Взаимное расположение прямой и квадрики будет зависеть от решения системы:

Если существует решение, тогда квадрика и прямая пересекаются.

Если решения не существует, тогда квадрика и прямая не пересекаются.

Параметрическое уравнение прямой подставим в уравнение квадрики.

(λ∙А ^Т+ μ∙В ^Т)∙Q∙(λ∙А + μ∙В) =0 λ²∙А ^Т∙Q∙А + λ∙μ∙А ^Т∙Q∙В+ μ∙λ∙В ^Т∙Q∙А + μ²∙В ^Т∙Q∙В = 0

Каждое из выражений А ^Т∙Q∙А , А ^Т∙Q∙В , В ^Т∙Q∙А , В ^Т∙Q∙В является числом,

так как матрицы Q , А , А ^Т, В , В ^Т - заданы.

(А^Т∙Q∙В)^Т = В^Т∙Q^Т∙А^ТТ=В^Т∙Q∙А, но А^Т∙Q∙В - это число, а значит (А^Т∙Q∙В)^Т=А^Т∙Q∙В, т.е. А^Т∙Q∙В=В^Т∙Q∙А.

Обозначим А^Т∙Q∙А = а, В^Т∙Q∙В= b, А^Т∙Q∙В = В^Т∙Q∙А = с,

Тогда получим: λ²∙а + 2∙λ∙μ∙с + μ²∙b = 0 - однородное уравнение, разделим на μ² (параметры уравнения прямой λ и μ одновременно не обращаются в 0, хотя бы один их них отличен от 0).

- квадратное уравнение относительно .

D =4∙с² - 4∙а∙b = 4∙(А^Т∙Q^Т∙В) ² - 4∙( А^Т∙Q∙А)∙( В ^Т∙Q∙В).

Как известно, квадратное уравнение может иметь два, или один, или ни одного корня в зависимости от дискриминанта.

При D > 0, две точки пересечения, т.е. прямая будет секущей;

при D = 0, одна точка пересечения, т.е. прямая будет касательной к квадрике;

при D < 0, точек пересечения прямой и квадрики нет.

Замечание: Аналогично можно рассматривать систему . Выражая одну из переменных через две другие и подставляя в уравнение квадрики, получим однородное уравнение второй степени от двух переменных. Решая аналогичным способом, итоговый результат будет тем же.

Вывод: Прямая может не иметь общих точек с квадрикой, может касаться её или быть секущей. Других вариантов нет.

Задача. Установить взаимное расположение квадрики х₁²+х₂² -х₃²-2∙х₁∙х₂ -4∙х₁∙х₃=0 и прямой, проходящей через точки А и В.

Решение. Первый способ: Q=- матрица квадрики, тогда

а =А^Т∙Q∙А = ∙∙= 12

b= В^Т∙Q∙В=∙∙= 4

с = А ^Т∙Q∙В = ∙∙= -8,

и

Одно решение λ₁=1 и μ₁= 3 Х₁ = 1∙+ 3 ∙==.

Второе решение λ₂=1 и μ₂=1 Х₂ = 1∙+ 1 ∙==.

Прямая пересекает квадрику в двух точках Х₁ и Х₂.

Второй способ: Найдем уравнение прямой (АВ):

=0 - 2х₁ +2х₂ -2х₃ = 0 х₁ - х₂ + х₃ = 0.

Решим систему

Х₁= и Х₂=- точки пересечения (АВ) и КВП