Ортогональные решения полиномов. Свойства нулей.

Эти полиномы ортогональны с весом на отрезке : . Где точки и это: 1) если - полином второго порядка, то и - это нули полинома , т.е. ; либо 2) если - полином первого порядка, то : и ; либо 3) если - полином нулевого порядка, т.е. , то и . Решения либо ограничены в особых точках, либо растут не быстрее полинома на бесконечности. Ортогональность следует из самосопряженности оператора , т.к. [ ].

Докажем. Запишем вторую формулу Грина: .

Теорема: Если - нормальная система полиномов на , то все нули принадлежат и они действительные и простые (значит, на происходит смен знаков (корни не кратные), ортогональность означает осцилляцию со сменой знака полное число раз).

Доказательство. Пусть теорема не верна.

Пусть имеет перемен знака: . Следовательно, если теорема не верна, то . Рассмотрим , т.к. система нормальная, то образует базис. Тогда - полином степени - это нормальная система. Рассмотрим (нормировка)

	т.к. это интеграл от знакопостоянной функции.

Таким образом, получили противоречие, значит . Чтд.

14. Содержание

    • Оглавление
    • Уравнение Лапласа и Пуассона.
    • Физический смысл стационарной задачи
    • Примеры
    • Понятие о потенциалах
    • Постановка задач
    • Первая и вторая формулы Грина с оператором , следствия.
    • Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства.
    • Примеры
    • Свойства гармонических функций.
    • Теорема о среднем для гармонических функций
    • Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле.
    • Следствия:
    • Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений.
    • Функция Грина для задачи с уравнением , понятия, определения.
    • Решение задач с её помощью
    • Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке
    • Теория потенциалов, определение, основные свойства.
    • Объёмный потенциал
    • Потенциал простого слоя
    • Потенциал двойного слоя
    • Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов
    • Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах:
    • Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры.
    • Уравнение с оператором с особенностью , свойства, ограниченность, постановка задачи.
    • Уравнение Бесселя.
    • Особенность, построение ограниченного решения .
    • Общее решение, , , , понятие о функциях .
    • Асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя.
    • Краевая задача на собственные значения: , её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д.
    • Модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции .
    • Сводная таблица.
    • Краевая задача с двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора .
    • Уравнение гипергеометрического типа.
    • Приведение к самосопряжённому виду. Весовые функции . Уравнение для производных(в следующем пункте).
    • Решение в виде полиномов. Формула Родрига.
    • Ортогональные решения полиномов. Свойства нулей.
    • Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов
    • Полиномы Лежандра.
    • Полиномы Чебышева-Лягера.
    • Чебышева-Эрмита.
    • Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида.
    • Уравнения, краевая задача для присоединенных полином Лежандра. Решения. Основные свойства.
    • Уравнение Лапласа в сферических координатах. Схема решения методом разделения переменных.
    • Сферические функции, определения, построение системы базисных функций. Ортогональность, полнота, теорема о разложении, б/д.