Проективные преобразования плоскости

Рассмотрим Р₂ и реперы R(Е₁,Е₂,Е₃,Е) и R′(Е′₁,Е′₂,Е′₃,Е′).

Определение 1: Отображение f : Р₂ → Р₂ заданное упорядоченной парой (R , R′) называется проективным преобразованием, если: М Р₂ → f (М) = Р₂ .

Замечание: Отображение f зависит только от реперов.

Замечание: Так как координаты точек и прямых определяются одинаково, то f (М) может быть как точкой, так и прямой.

Определение: Преобразование на проективной плоскости, переводящее точку в точку, а прямую в прямую называется коллинеация.

Определение: Преобразование на проективной плоскости, переводящее точку в прямую, а прямую в точку называется корреляция.

Замечание: Корреляция рассматривалась при обосновании принципа двойственности. В дальнейшем будем рассматривать коллинеации.

Лемма 1. При проективном преобразовании репер переходит в репер.

Доказательство. Пусть дано проективное преобразование плоскости

f : М → М ′ = f (М) = .

Тогда Е₁ → f (Е₁)== Е′₁ , аналогично отображаются

другие точки репера: Е₂→ f (Е₂)==Е′₂ , Е₃→ f (Е₃)==Е′₃ . □

Свойства проективных преобразований:

1. А, В, С ℓ А′, В′, С′ ℓ′.

Доказательство. Пусть в репере R уравнение прямой (AB) : и₁·х₁ + и₂·х₂ + и₃·х₃ =0 и координаты точки С .

Так как А′ и В′ имеют те же самые координаты, что и точки А, В , но только в репере R′ , то уравнение прямой (А′В′) будет иметь такой же вид и₁·х′₁ + и₂·х′₂ + и₃·х′₃ =0 в R′.

Если точка С(АВ), то : и₁·с₁ + и₂·с₂ + и₃·с₃ =0.

Образ - С′ и₁·с₁ + и₂·с₂ + и₃·с₃ =0 в R′, а это означает что С′(А′В′). □

Замечание: Для корреляции: А, В, С ℓ → а′, b′, с′ П(S).

2. А, В, С ℓ А′, В′, С′ ℓ′.

Доказательство. От противного: А, В, Сℓ и А′, В′, С′ ℓ′. Возьмем МР₂ , пусть (АВ)∩(СМ) = N.

При преобразовании А → А′, В → В′, С → С′, N → N′.

А, В, N (АВ) А′, В′, N′ (А′В′), С, М, N (СМ)

С′, М′, N′ (С′М′) (по свойству (1)).

По предположению А′,В′,С′ℓ′ (А′В′)=ℓ′ N′ ℓ′ (С′М′)=ℓ′.

Так как точка M – произвольная, получается, что вся плоскость отображается на прямую ℓ′. А это не возможно. □

Вывод: При проективном преобразовании сохраняется отношение инцидентности.

3. Сохраняется сложное отношение точек лежащих на одной прямой: (АВ,СD)=(А′В′,С′D′).

Доказательство. Так координаты точек образов и прообразов одинаковы, то при вычислении сложного отношения используются одни и те же числа, то сохраняется двойственное отношение.□

Определение 2: Отображение f : Р₂ → Р₂ заданное упорядоченной парой (R,R′) называется проективным преобразованием, если: А, В, С, D ℓ → А′, В′, С′, D′ ℓ′ и (АВ,СD)=(А′В′,С′D′).

Замечание: а, b, с, d П(S)→ а′, b′, с′, d′П(S′) сохраняется (аb,сd)=(а′b′,с′d′).

А, В, С, D ℓ→ а′, b′, с′, d′ П(f (ℓ)) сохраняется (АВ,СD)=(а′b′,с′d′).

Вывод: Корреляция как проективное преобразование попадает под это определение.

Теорема. Определения 1 и 2 эквивалентны.

Доказательство. Самостоятельно.

Лемма 2. Пусть f₁ : Р₂ → Р₂ и f₂ : Р₂ → Р₂ - два проективных преобразования, причем для некоторой прямой ℓ имеем, что А,В,Сℓ и f₁(А)=f₂(А), f₁(В)=f₂(В), f₁(С)=f₂(С), тогда f₁(ℓ)=f₂(ℓ).

(Если проективные преобразования f₁ и f₂ совпадают по трем точкам некоторой прямой, то они совпадают на всей прямой.)

Доказательство. От противного.

Возьмем М ℓ и пусть f₁ (М)≠f₂ (М).

f₁ - проективное преобразование (АВ,СМ)=(f₁(А)f₁(В),f₁(С)f₁(М))=(А′В′,С′М₁).

f₂ - проективное преобразование (АВ,СМ)=(f₂(А)f₂(В),f₂(С)f₂(М))=(А′В′,С′М₂).

(А′В′,С′М₁)=(А′В′,С′М₂), но в силу единственности двойного отношения следует М₁=М₂ для любой точки прямой ℓ f₁(ℓ)=f₂(ℓ). □

Теорема. Пусть R(Е₁ ,Е₂ ,Е₃ , Е) и R′(Е′₁ , Е′₂ , Е′₃ , Е′) произвольные реперы на Р₂. Тогда существует единственное проективное преобразование f : Р₂ → Р₂ , которое переводит репер в репер, причем М( х₁ : х₂ : х₃)_R → f(М)=( х₁ : х₂ : х₃)_R′

Доказательство. Самостоятельно.