5. Соответствия. Способы задания соответствий.

Соответствие, бинарное отношение между двумя множествами A и B — произвольное подмножество R декартова произведения A ´ B.

Если a Î A, b Î B и (a, b) Î R, то пишут также R(a, b) или aRb. Если R = Æ — пустое множество, то соответствие называется пустым, а если R = A ´ B, то соответствие называется полным.

Способы задания соответствий:

–множеством картежей;

–матрицей;

–сечением (фактор - множеством);

–диаграммой.

А1 ´ А2 ´…´ An = {(а1, а2, ..., ап) : аi Î Аi, i = 1, 2, ...,n} - картеж

Задание соответствия множеством картежей.

Поскольку С является подмножеством декартового произведения, то его можно задать как перечислением (в частности списком) конечного числа картежей, так и их описанием.

Пример1: Пусть M ={ 0, 1},

M^3={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}.

|M^3|=8 (2^3)

Пример2: Пусть M1 ={ a0, a1, a2}, M2 ={b1, b2, b3, b4}

M={‹ a0, b1›,‹ a0, b2›,‹ a0, b3›,‹ a0, b4›,‹ a1, b2›,‹ a1, b3 ›,‹ a1, b4 ›,‹ a2, b3›,‹ a2, b4› }.

Матричное задание соответствий.

Пример:

M1 = {x1, x2, x3}

M2 = {y1, y2}

Задание соответствия сечением.

Множество всех сечений элементов множества M1 называется фактор-множеством.

Пример: Пусть M1 ={ a0, a1, a2}, M2 ={b1, b2, b3, b4}

G={‹ a0, b1›,‹ a0, b2›,‹ a1, b3›,‹ a2, b1›,‹ a2, b4›}.

Диаграммное задание соответствий.

Обычно для соответствий диаграммным представлением являлся двудольный граф(доли-множества вершин, помеченных символами элементов множеств),рассмотренный ранее как графическое представление С, а для отношений - псевдограф.

Функциональное соответствие

Соответствие F, заданное на множествах A1, A2, …, An, B называется функциональным, если для любого элемента (a1, a2, …, an) из A1 ´ A2 ´ … ´ An существует не более одного элемента b из B такого, что (a1, a2, …, an, b) Î F. Если такой элемент b из B существует для некоторого (a1, a2, …, an) , то он обозначается F(a1, a2, …, an) и записывается так: b = F(a1, a2, …, an) .

В случае, если Dom(F) = A1 ´ A2 ´ … ´ An , F называется полностью определенным, когда Dom(F) Ì A1 ´ A2 ´ … ´ An — частично определенным или просто частичным.

Соответствие F, заданное на множествах A1, A2, …, An, B называется отображением или функцией из A1 ´ A2 ´ … ´ An в B (F: A1 ´ A2 ´ … ´ An ® B), если F функциональное и полностью определенное. Соответствие F называется частичным отображением или частичной функцией, если F функциональное и частичное. Число n называют арностью функции F.

Соответствие Галуа

• Всякое соответствие R Í A ´ B устанавливает т.н. соответствие Галуа между подмножествами множества A и подмножествами множества B.

• Именно, если X Í A, то через G (X) обозначается пересечение  Ç a Î X im R a;

• Аналогично, для Y Í B вводится множество G–1(Y)= Ç b Î Y coim R b.

• Пусть X* = G–1 (G (X)), Y* = G(G–1(Y)), тогда X Í X*, Y Í Y*;

Из X1 Í X2 следует G (X1) Ê G (X2);

из Y1 Í Y2 следует G–1(Y1) Ê G–1(Y2);

X** = X*; Y** = Y*.

• Подмножество X Í A  (Y Í B) называется замкнутым, если X = X* (Y = Y*). Соответствие Галуа устанавливает биективное соответствие между замкнутыми подмножествами в A и B.