Группоиды и полугруппы
1) В зависимости от числа операций, определенного в данном множестве, в зависимости от свойств этих операций, общая алгебра подразделяется на отдельные части. Самым простым алгебраическим образованием является множество с одной алгебраической операцией, на которую не налагается никаких условий. Называется оно группоидом. Если на алгебраическую операцию наложить некоторые условия, например, предположить, что операция коммутативна, то такие группоиды называются коммутативными или абелевыми ( в честь великого норвежского математика 19 века Н.Г. Абеля).
Определение.
Группоиды с ассоциативной операцией называются полугруппами.
Теория полугрупп является одной из наиболее содержательных областей общей алгебры. Если полугруппа содержит единичный элемент , то она называется полугруппой с единицей, ее единичный элемент называется единицей полугруппы. Примером полугруппы является множество, N0 по отношению к сложению, а так же по отношению к умножению.(N0 = N 0).
Группы
Определение 1.
Полугруппа G с единицей е называется группой, если для каждого ее элемента а существует такой элемент а'G, что
аа' = а'а = е. ( 1)
Будем с этого момента алгебраическую операцию в группе называть умножением и обозначать символом обычного умножения, ее результат будем называть произведением. Элемент а' из (1) назовем обратным к а и обозначим символом а-1. Таким образом (1) запишется так:
аа-1 = а-1а = е. (1')
Определение 2.
Группа – это множество замкнутое относительно одной ассоциативной алгебраической операции, содержащее единичный элемент и такой, что для каждого ее элемента а существует обратный элемент, который удовлетворяет равенству (1').