Циклические группы
Пусть G мультипликативная группа (то есть с операцией умножения), а - ее фиксированный элемент. Если любой элемент g G записывается в виде g = а n для некоторого nZ, то говорят, что G = - циклическая группа с образующим а ( или циклическая группа, порожденная элементом а). Аналогично циклическая группа определяется в аддитивном случае: ={na|nZ}. Это конечно не означает, что все элементы аn или аn попарно различны. Условимся обозначать (а-1) k = a –k .
Теорема 1.
Каковы бы ни были m,n Z,
а m a n = a m + n , (а m) n = a m n
(соответственно ma + na = (m + n)a, n(ma) = (nm)a).
Простейшим примером циклической группы служит аддитивная группа (Z,+,0), порожденная обычной 1 или -1.
Матрица порождает вSL2(Z) бесконечную циклическую подгруппу, здесь SL2(Z) – множество всех 22 матриц с вещественными элементами и отличным от нуля определителем. Множество {1,-1} является по умножению циклической группой порядка 2. ПустьG – произвольная группа, а – некоторый ее элемент. Имеется две возможности.
1). Все степени элемента а различны, то есть mn am аn . В этом случае говорят, что элемент аG имеет бесконечный порядок.
2).Имеются совпадения аm =an при mn.
Если m>n, то аm-n=е, то есть существуют положительные степени элемента аG равные единичному элементу. Пусть q наименьший положительный показатель аq = е, тогда говорят, что а – элемент конечного порядка q.
Теорема 2.
Порядок любого элемента аG (G – абстрактная группа) равен Сard.
Доказательство.
В случае элемента бесконечного порядка доказывать нечего. Если а – элемент порядка q, то по определению все элементы е,а,а2 ,…,аq-1 различны. Любая другая степень аk совпадает с одним из этих элементов, то есть ={е,а,а2,…,аq-1} . В самом деле, воспользовавшись алгоритмом деления в Z, запишем показатель k в виде k = lq + r, 0r q-1. После чего, оперируя со степенями по правилам изложенным в теореме 1 получим
ak = (a q)l ar = ear = ar.
В частности ak=е, r = 0 k = lq.