Гомоморфизм

В группе автоморфизмов Aut (G) группы G содержится одна особая подгруппа I_nn(G ) и называется группой внутренних автоморфизмов. Ее элементами являются отображения I_а:qaga^-1. Легко показать, что I_а действительно удовлетворяет всем свойствам требуемым от автоморфизмов, причем I_а=I, Ie=1- единичный автоморфизм, IaIb=Iab, так как (IaIb)(g) =I_a(I_b(q))=I_a(bgb^-1)=abgb^-1a^-1=abg(ab)^-1=I_ab(g).

Последнее соотношение показывает, что отображение

f: GI_nn(G)

G на группу I_nn(G ) ее внутренних автоморфизмов определяется формулой f(a)=Ia,aG обладает свойством а) изоморфного отображения f(a)f(b)=f(a,b). Свойство б) при этом необязано выполняеться. Если, например, G абелева группа, то aga^-1= g а,gG, так что I_a= I_е и вся группа I_nn(G) состоит из одного единичного элемента Ie.

Определение.

Отображение f^:: GG' группы (G,) в (G',) называется гомоморфизмом, если а,bG f (a b)=f(a) f(b) (другими словами выполняется только свойство а) из определения изоморфизма).

Ядром гомоморфизма f называется множество ker f ={gG| f(g)=e' – единица группы G'}.

Гомоморфное отображение группы в себя называется еще эндоморфизмом.