Смежные классы

Определение.

Пусть H={e,h₁,h₂,…,h_m-1}- подгруппа группы G. Множество g(H)={ge,gh₁,gh₂,…,gh_m-1} полученное элементов H слева на элемент gG называется левым смежным классом группы G по группе H.

Лемма 1.

Пусть H подгруппа группа G, тогда для любого hH, hH=H.

Доказательство.

Пусть H={e,h₁,h₂,…,h_m-1} h_k H, hh_k H (замкнутость подгруппы). Значит hH H, с другой стороны h_kH, h_k=e h_k=(hh^-1) h_k=h(h^-1h_k)hH, откуда H hH. Таким образом hH hH=H.

19