Изоморфизмы

Определение.

Две группы G и G' с операциями и называются изоморфными, если существует отображение f : GG' такое, что:

а) f (a b)=f(a)f(b) для всех a,bG;

б) f – биективно. Обозначение изоморфных групп G G'.

Простейшие свойства изоморфизма:

а) Единица переходит в единицу.

б) f(а^-1)=f^--1(a).

в) Обратное отображение f^—1 : G' G, существующее в силу свойства б), тоже является изоморфизмом.

В качестве изоморфного отображения f мультипликативной группы (R₊,) положительных вещественных чисел на аддитивную группу (R, +) всех вещественных чисел служит f:=ln.

Известное свойство ln ab=ln a + ln b моделирует свойство а) в определении изоморфизма. Обратным к f служит отображение хе^х.

Рассмотрим две теоремы иллюстрирующие роль изоморфизма в теории групп.

Теореме 3.

Все циклические группы одного и того же порядка (в том числе и бесконечного изоморфны).

Доказательство.

Если - бесконечная циклическая группа, то все степениqⁿ образующего q различны и мы получим изоморфизм f:(Z,+), полагая qⁿf (qⁿ)=n. Биективность f очевидна, а свойство f (q^mqⁿ) = f (qⁿ) + f (q^m) вытекает из теоремы 1.

Пусть теперь G={e,q,q²,…,q^q-1} и G'={e',q',(q')²,…,(q')^q-1} две циклические группы порядка q. Операции в G и G' не различаем. Определим биективное отображение f: q^k (q')^k , k=0,1,…,q-1. Полагая m+ n = lq + r , 0 r q-1 для всех m,n=0,1,…, q-1.

f(qⁿ⁺ⁿ) = f(q^r) = (q') ^r = (q') ^m+n = (q') ⁿ (q') ^m = f(qⁿ)f(q^m).

Теорема 4. (Кэли)

Любая конечная группа порядка n изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы S_n.

Положив, G'= G в определении изоморфизмами получим изоморфное отображение φ: G G группы G на себя. Оно называется автоморфизмом группы G.