Алгебраические операции

Определение.

Пусть дано множество M объектов произвольной природы. Алгебраической операцией, определенной в М будем называть функцию f, которая каждой упорядоченной паре элементов a,bM ставим в соответствие некоторый определенный элемент c М.

В определении алгебраической операции имеется требование, чтобы результат операции, выполненный на всякой паре элементов множества М, тоже принадлежал множеству М, это так называемый постулат замкнутости множества относительно алгебраической операции (или замкнутости операции).

С этой точки зрения нельзя, например, вычитание натуральных чисел или деление действительных чисел считать алгебраической операцией. Для обозначения алгебраической операции употребляется обычно вместо записи f(a,b) более удобная a f b, или, заменяя знак функции f каким-либо другим, например,и тому подобное.

Рассмотрим примеры алгебраических операций.

1). Алгебраическими операциями являются: обычное сложение в N, Z, Q, R, C, а так же обычное умножение в каждом из этих множеств. Обычное вычитание так же является алгебраической операцией в Z, Q, R, C, но не в N. Обычное деление чисел не является алгебраической операцией ни в каком из этих множеств, но если рассматривать множества Q, R, C каждое без нуля, то в этих множествах деление уже будет алгебраической операцией.

2). Рассматриваем множество V всех векторов трехмерного, евклидова пространства. Сложение векторов будет алгебраической операцией в V, вычитание тоже. Алгебраической операцией будет так же векторное умножение векторов. Скалярное произведение не будет алгебраической операцией так как в этом случае результатом действия является не вектор, а действительное число.

Определение 1.

Алгебраическая операция, определенная на множествеМ, называется коммутативной, если для любых a,bM, a b = b a.

Определение 2.

Алгебраическая операция, определенная на множестве М, называетсяассоциативной, если для любых

(a b) с =a(bс).

a,bM. Можно поэтому писать в данном случае просто аbс.

Пример № 1.

Определим в R алгебраические операции иследующим образом:

аb = a + b + 1,

a b = a + b + ab,

где «+» и «» в правых частях этих равенств являются обычным сложением и умножением чисел.

Докажем, например, что в этом примере является ассоциативной.

Доказательство.

Мы должны доказать, что

(a b) с = a (bc).

Имеем

(a b)c = (a + b + ab)c = (a + b + ab) + c + (a + b + ab)с = a + b + c + ab + ac + bc + abc = a + (b + c) + a( b + c + bc ) + bc = a + ( b + c + bc ) + a( b + c + bc ) = a (b + c + bc) = a ( b c ).

Можно так же показать, что операция является ассоциативной.

Если в множестве М, в котором определена алгебраическая операция, имеется элемент е, такой, что для всякого

аМ еа = ае = а,

то говорим, что элемент е является единичным элементом операции .

Если рассматривать какое – либо из множеств N, Z, Q, R, C со сложением, то единичным элементом будет число 0. В тех же множествах, рассматриваемых с умножением в качестве алгебраической операции, единичным элементом является 1.

Во множестве всех четных чисел с умножением в качестве алгебраической операции нет единичного элемента. В данном множестве М с данной алгебраической операцией. Не может быть больше чем один единичный элемент. В самом деле, если бы е и е' были бы единичными элементами операции , то было бы

е е' = е' и ее' = е,

откуда е = е'.