Кольца и поля
Определение.
Пусть К – не пустое множество, на котором заданы две бинарные алгебраические операции «+» (сложение) и «» (умножение), удовлетворяющие следующим условиям:
1). (К, +) – абелева группа;
2). (К,) – полугруппа;
3). операции (+) и () связаны дистрибутивными законами (другими словами, умножение дистрибутивно по сложению).
(a+b)c=ac+bc, c(a+b)=ca+cb a,b,cК.
Тогда (К,+,) называетсякольцом. Структура (К, +) называется аддитивной группой кольца, (К,) – его мультипликативной полугруппой. Если (К,) – моноид (полугруппа с 1), то говорят, что (К,+,) - кольцо с 1.
Единичный элемент кольца принято обозначать 1. Существование 1 часто вносится в определение кольца. В приложениях и в общей теории колец рассматриваются алгебраические структуры, в которых аксиома 2 либо совсем устраняется, либо заменяется другой, в зависимости от конкретной задачи. В таких случаях говорят о не ассоциативных кольцах. Подмножество L кольца К называется подкольцом, если х,уLх-уL, хуL,то есть если L подгруппа аддитивной группы и подполугруппа мультипликативной полугруппы кольца. Кольцо называется коммутативным, если
ху = ух х,уК
(в отличие от групп, коммутативное кольцо не принято называть абелевым).
Примеры колец.
1. (Z,+,) – кольцо целых чисел с обычными операциями + и). МножествоmZ целых чисел делящихся на m, будет в Z подкольцом (без 1 при m>1).
Кольцами с 1 являются Q и R, причем естественные включения определяют цепочки подколец кольцаR.
2. Обозначим (или ) множество всех квадратных матриц (аij) порядка n с вещественными коэффициентамиаij. Очевидно, что - кольцо с единицей Е (Е– единичная матрица). Оно называется полным матричным кольцом над R. Так как при n>1 матрицы, как правило, неперестановочны, то – некоммутативное кольцо. Оно содержит в качестве подколец кольца и квадратных матриц того же порядка над Q и Z соответственно.