Основные понятия

Прямая в пространстве может быть однозначно определена, если известна точка, принадлежащая прямой, и ненулевой вектор, параллельный прямой (направляющий вектор прямой).

Пусть задана такая точка и вектор (Рис. 7.1).

Если ‑ произвольная текущая точка прямой , то вектор коллинеарен вектору и их соответствующие координаты пропорциональны.

Этим соотношениям удовлетворяют координаты любой точки прямой и только этой прямой. Равенства (1) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Обозначим радиус-вектор точки , ‑ радиус-вектор точки . Тогда

В силу коллинеарности векторов и существует число такое, что . Тогда из (2) получим векторное параметрическое уравнение прямой

В координатной форме уравнение (3) равносильно трем уравнениям

которые называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.

Исключая из уравнений (4) параметр , легко перейти к каноническим уравнениям прямой (1).

Обратный переход от (1) к (4) осуществляют, приравнивая каждое из трех соотношений (1) к . При этом, если знаменатель какого-либо соотношения равен нулю, то необходимо приравнять к нулю его числитель.

Пусть заданы точки и . Составим уравнение прямой, проходящей через заданные точки, пользуясь Рис. 7.1.

Очевидно, что в этом случае направляющим вектором прямой будет вектор . Используя (1), получаем искомые уравнения в виде:

Прямую в пространстве можно определить как пересечение двух плоскостей. Рассматривая совместно уравнения этих плоскостей, получим уравнение линии в общем виде:

Система двух уравнений первой степени (6) определяет прямую линию при условии, что нормальные векторы и неколлинеарны. Только в этом случае плоскости будут пересекаться. Уравнения (6) носят название общее уравнение прямой в пространстве.

Чтобы перейти от общих уравнений прямой (6) к ее каноническим уравнениям (1), нужно на прямой найти какую-нибудь точку и определить ее направляющий вектор .

Точку находят, давая произвольное значение одной из переменных , или . Решая систему (6) , получают значения оставшихся двух переменных.

Направляющий вектор параллелен линии пересечения плоскостей (6) и, следовательно, перпендикулярен обоим нормальным векторам плоскостей . Поэтому в качестве можно взять вектор ,