5.2. Пересечение кривой второго порядка с прямой.

Пусть кривая второго порядка  задана уравнением (5.1.1) и A(a_i ), B(b_i ) – две точки. Найдем пересечение прямой AB с кривой . Уравнение прямой AB (п^о2.7):

х_i = a_i + b_i . (5.2.1)

Подставим (5.2.1) в (5.1.1 ):

(;\s\do10(iа_ij (a_i + b_i)(a_j + b_j) _{= 0,}

²(;\s\do10(iа_ij a_ia_j + 2(;\s\do10(iа_ij a_ib_j + ²(;\s\do10(iа_ij b_ib_j = 0, (5.2.2)

Это уравнение вида

² + 2 + ² = 0. (_*)

Возможны следующие случаи.

1.  =  =  = 0; тогда  и  любые, AB .

2.  =  = 0,   0; тогда  = 0 или  = 0 ; это значит AB   = {A, B}.

3.   0 или   0; пусть   0, тогда разделим (_*) на ²:

(/)² + 2(/) +  = 0; (5.2.3)

Это уравнение относительно неизвестного / имеет два корня (различные или совпадающие действительные, или комплексно-сопряженные). Под-ставляем ₁, ₁ и ₂, ₂ в (5.2.1) и получаем две точки пересечения (действительные или комплексные, а, может быть, совпадающие).