Методы малого параметра (аналитические методы)

Методы малого параметра дают возможность приближенно исследовать устойчивость нелинейных систем, определять амплитуды и частоты автоколебаний в системах, а также устойчивость этих автоколебаний (предельных циклов). Наиболее ранними являются методы Пуанкарэ, Ляпунова. Рэйли и Ван-дер-Поля. Л.И. Мандельштамом, Н.Д. Папалекси и А.А. Андроновым был строго обоснован и метод Ван-дер-Поля, развит метод Пуанкарэ. Б.В. Булгаковым эти методы были распространены на системы высокого порядка. Н.М. Крылов и Н.Н. Боголюбов Разработали принцип так называемого гармонического баланса. Широкое пременим метод Л.С. Гольдфарба, базирующийся на использовании принципа гармонического баланса, хотя он уже относится к графоаналитическим методам.

В первой фазе развития методов малого параметра рассматривались нелинейные системы второго порядка. Например, уравнение лампового генератора может быть приведено к виду (для относительного времени):

Здесь φ – нелинейная функция x и , μ – некоторое постоянное число, считающееся малый по величине. Это и есть малый параметр. Если μ=0, то уравнение (1) вырождается в простое линейное уравнение

Имеющее очевидное значение , где амплитуда А зависит от начальных условий, а частота ω=1. Между тем при μ≠0, как следует, например, из эксперимента, получается автоколебание вида

, где А – определенная амплитуда, независимая от начальных условий, а частота ω близка к единице, но несколько от неё отличается.Автоколебание, как следует из формулы (4), примерно синусоидально, если μ не велико.Уравнение (1) при μ=0 имеет известное решение х0 (3). При малом μ, не равном нулю, естественно представить это решение в форме, близкой к х0,а именно , где х1, х2 и т.д. – некоторые функции времени. Если эти функции найдены, то ограничившись некоторым числом членов рядя (5), получаем приближенное решение, обращающееся в частном случае μ=0 в функцию х0(t) – решением уравнения линейной консервативной системы (2). Методы малого параметра имеют принципиальное ограничение – они и качественно и количественно предают хорошо черты явления лишь в том случае, когда система в известном смысле мало отличается от консервативной, имеющей решение, соответствующее μ=0. Если система сильно отличается от исходной, то методы малого параметра уже не описывают достаточно точно происходящие явления и могут даже дать качественно неверный результат.

33. Содержание

    • Понятие управления. Автоматическое и автоматизированное управление. Классификация систем автоматического управления (сау).
    • Функциональные схемы сау: разомкнутые и замкнутые сау. Обратная связь и ее типы.
    • Структурные схемы систем и их эквивалентные преобразования.
    • Формула Мейсена
    • Временные характеристики систем. Переходная характеристика.
    • Частотные характеристики систем.
    • Логарифмические характеристики.
    • Передаточная функция: определение и типы
    • Типовые звенья и их характеристики
    • Основные законы регулирования.
    • Необходимое и достаточное условие устойчивости линейных систем
    • Алгебраический критерий устойчивости (Рауса-Гурвица)
    • Критерий устойчивости Михайлова.
    • Критерий Найквиста.
    • Точность систем автоматического управления в типовых режимах.
    • Понятие переходного процесса. Оценка качества системы по переходной характеристике.
    • Методы построения переходного процесса.
    • Прямые и косвенные методы исследования качества управления.
    • Основные методы повышения точности систем
    • Теория инвариантности и комбинированное управление (далее ку)
    • Корректирующие средства
    • Основные принципы повышения запаса устойчивости систем
    • Система с переменными параметрами (далее спр). Нормальная и сопряженная весовые функции
    • Параметрическая передаточная функция (далее ппф) нестационарной системы
    • Методы анализа нестационарных систем
    • Системы с запаздыванием
    • Нелинейные системы, общие понятия, особенности динамики, типовые нелинейности.
    • Метод малых отклонений. Первый метод Ляпунова. Типы особых точек
    • Метод интегрированной аппроксимации (на примере системы с реле)
    • Второй метод Ляпунова
    • Частотный критерий устойчивости в. М. Попова.
    • Методы малого параметра (аналитические методы)
    • Метод гармонического баланса.
    • Преобразование случайных сигналов линейными системами.
    • Преобразование случайных сигналов нелинейными системами.
    • Статистически оптимальные параметры линейных систем.
    • Статистически оптимальные системы. Уравнение Винера-Хопфа (на примере не реализуемой системы).
    • Решение уравнения Винера-Хопфа (для физически реализуемой системы.) Решение уравнения Винера-Хопфа для физически реализуемой системы.
    • Преобразование случайных сигналов безынерционными нелинейными системами.
    • Метод статистической линеаризации.
    • Понятие об оптимальных системах. Примеры постановки задач оптимального управления.
    • Синтез управляющего устройства оптимальной по быстродействию системы методом фазовой плоскости.
    • Вариационное исчисление и основные задачи вариационного исчисления. Перечислите основные задачи вариационного исчисления?
    • Основная задача минимизации. Случай закрепленных конечных точек.
    • Случай подвижных конечных точек. Задача перехвата.
    • Вариационное исчисление в задачах оптимального управления. Управление по минимуму интегральной оценки.
    • Учет физических ограничений и множители Лагранжа (на примере)
    • Обобщенная задача оптимального управления.
    • Принцип максимума Понтрягина.
    • Метод динамического программирования Беллмана.