Решение в виде полиномов. Формула Родрига.
Пусть - решение уравнения . Продифференцируем: . Обозначим , тогда . Производная решения гипергеометрического вида тоже является решением другого уравнения гипергеометрического вида. Далее можно повторить это действие, введя аналогичную замену: и т.д. Следовательно - решение различных уравнений гипергеометрического вида.
Определим коэффициенты и . Посмотрим, как они изменятся дальше. , .
Запишем: , дифференцируем: . . Найдем . Рассмотрим - сложим все эти разности и получим:
Таким образом: . Приведём (2) к самосопряжённому виду. (2) – уравнение для производных. (2*) , где - весовые функции.
Каждому целому можно указать такие значения , что . Т.е. , при таком выборе , уравнение приобретает новые качества: и новый вид . Тогда , положим эту константу равной нулю, тогда - многочлен степени . Таким образом, мы нашли бесконечную цепочку полиномов – решений уравнения при соответствующих значения . Это система - нормальная система полиномов образует базис. Вспомним , перепишем в виде: . Рассмотрим . Для воспользуемся при пока (т.е. пока можно делить) .
Запишем в чистом виде: - формула Родрига.
- Оглавление
- Уравнение Лапласа и Пуассона.
- Физический смысл стационарной задачи
- Примеры
- Понятие о потенциалах
- Постановка задач
- Первая и вторая формулы Грина с оператором , следствия.
- Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства.
- Примеры
- Свойства гармонических функций.
- Теорема о среднем для гармонических функций
- Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле.
- Следствия:
- Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений.
- Функция Грина для задачи с уравнением , понятия, определения.
- Решение задач с её помощью
- Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке
- Теория потенциалов, определение, основные свойства.
- Объёмный потенциал
- Потенциал простого слоя
- Потенциал двойного слоя
- Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов
- Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах:
- Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры.
- Уравнение с оператором с особенностью , свойства, ограниченность, постановка задачи.
- Уравнение Бесселя.
- Особенность, построение ограниченного решения .
- Общее решение, , , , понятие о функциях .
- Асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя.
- Краевая задача на собственные значения: , её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д.
- Модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции .
- Сводная таблица.
- Краевая задача с двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора .
- Уравнение гипергеометрического типа.
- Приведение к самосопряжённому виду. Весовые функции . Уравнение для производных(в следующем пункте).
- Решение в виде полиномов. Формула Родрига.
- Ортогональные решения полиномов. Свойства нулей.
- Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов
- Полиномы Лежандра.
- Полиномы Чебышева-Лягера.
- Чебышева-Эрмита.
- Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида.
- Уравнения, краевая задача для присоединенных полином Лежандра. Решения. Основные свойства.
- Уравнение Лапласа в сферических координатах. Схема решения методом разделения переменных.
- Сферические функции, определения, построение системы базисных функций. Ортогональность, полнота, теорема о разложении, б/д.