2.1. Фундаментальные алгебры

Под алгеброй A = <M, S> мы понимаем совокупность множества М и заданных на нем операций S = {O1, O2, . . . ,On}. Множество М называется носителем алгебры, S – сигнатурой.

Операции Oi не обязательно бинарны, но конечноместны, сигнатура их свойств конечна. Само множество М может быть как конечно, так и бесконечно, но не является пустым.

Классическое определение фундаментальной (универсальной) алгебры требует, чтобы операции S = {O1, O2, . . . ,On} были всюду определены на множестве M [1,3].

Рассмотрим классификацию фундаментальных алгебр [1- 4]. Алгебра вида A=<M, ◦> , где ◦ – двухместная операция, называется группоидом. Если операция ◦ типа сложения, то группоид на-

зывается аддитивным, если операция ◦ типа умножения, то группоид мультипликативный.

В зависимости от свойств двухместной операции ◦ группоид мо-

жет быть коммутативным (абелевым), идемпотентным или ас-

социативным. Ассоциативный группоид называется полугруппой. Введем понятие нейтрального элемента для фундаментальных

Если элемент e M одновременно и левый и правый, то он на-

зывается нейтральным элементом (двухсторонним).

Если группоид <M, ◦> мультипликативный, то нейтральный элемент называется единицей и обозначается 1. Если группоид <M,

◦> аддитивный, то нейтральный элемент называется нулем и обозначается 0.

На рис. 2.1 приведена классификация фундаментальных алгебр. Свойства группоидов отражены на рис. 2.2.