1.3.4. Свойства бинарных отношений

Бинарное отношение T(M) называется рефлексивным тогда и только тогда, когда для каждого элемента x M пара (х, х) принадлежит этому бинарному отношению, т.е.

x M (x, x) T (M ) .

Классическим определением этого свойства является утверждение

x M (x, x) T (M ) .

Прямо противоположное свойство бинарных отношений называется иррефлексивностью. Бинарное отношение T(M) называется иррефлексивным тогда и только тогда, когда для каждого элемента x M пара (х, х) не принадлежит этому бинарному отношению, т.е.

x M (x, x) T (M ) .

Классическим определением свойства иррефлексивности является утверждение

x M (x, x) T (M ) .

Если бинарное отношение T(M) не обладает ни свойством рефлексивности, ни свойством иррефлексивности, то оно является не-

рефлексивным.

Если во множестве М содержится хотя бы один элемент x, то правильная классификация не представляет сложности.

Но как быть в граничном случае, если множество М или Т– пусты? В этом случае, с точки зрения классических воззрений, бинарные отношения T( ) и являются одновременно как рефлексивными, так и иррефлексивными множествами.

Обратите внимание, что для однозначности решения задачи классификации свойство рефлексивности следует определять только для непустых множеств! В соответствии с этим, бинарное отношение на пустом множестве будет являться нерефлексивным так же, как нерефлексивным будет пустое бинарное отношение.

Таким образом, оба способа классификации дают один и тот же результат на всем универсуме за исключением T( ) и .