Тема 2. Матрицы.

Матрицей размера называется прямоугольная таблица из чисел (,):, состоящая изстрок истолбцов. Если необходимо указать размеры матрицы, то пишут.

Если , то матрицаназываетсяквадратной.

Нулевой называется матрица , все элементы которой равны нулю, например:.Единичной называется квадратная матрица , на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, например:.Треугольной называется квадратная матрица , все элементы которой расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю, например:.Трапециевидной (ступенчатой) называется матрица , все элементы которой, расположенные ниже элементовравны нулю, например:.

Матрицы иназываютсяравными и пишут , если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны:,,.

Матрицы можно транспонировать, складывать, вычитать, умножать на число, умножать на другую матрицу.

Транспонированной к матрице называется матрица, столбцами которой являются соответствующие строки матрицы.

Суммой (разностью) матриц иодного размера, называется матрицатого же размера, для которой:

, ,.

Произведением матрицы размера на число называется матрица того же размера, для которой:,,.

Линейной комбинацией матриц и одного размера , называется матрицатого же размера (и- произвольные числа), для которой:,,,

Произведением матрицы на матрицу называется матрица , каждый элемент которойвычисляется по правилу:

, ,.

Операция умножения матрицы на матрицу определена не для всех матриц, а только для таких у которых число столбцов левой матрицы равно числу строк правой матрицы. Такие матрицы называются согласованными для умножения. Поэтому прежде чем выполнять операцию умножения матрицы на матрицу следует проверить их согласованность для умножения и определить размерность матрицы-произведения (если умножение матриц возможно): . Особенность операции умножения матриц состоит в том, что в общем случае:, т.е. переместительное свойство места не имеет.

Элементарными преобразованиями матрицы называются:

1) перестановка строк (столбцов);

2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;

4) вычёркивание нулевой строки (столбца).

Матрицы и, полученные одна из другой в результате элементарных преобразований называютсяэквивалентными и пишут .

Обратной к квадратной матрице порядка, называется матрицатого же порядка, если:, где- единичная матрица порядка.

Квадратная матрица называетсяневырожденной, если её определитель . Обратная матрица всегда существует для невырожденных матриц.

Основными методами вычисления обратной матрицы являются:

Метод присоединённой матрицы. Если-невырожденная матрица, то, где- присоединённая матрица, для которой:. Здесь- алгебраические дополнения элементовматрицы.

В частности, если , то

Метод элементарных преобразований. Для данной квадратной матрицыпорядкастроится прямоугольная матрицаразмераприписыванием ксправа единичной матрицы. Далее, с помощью элементарных преобразований над строками, матрицаприводится к виду, что всегда возможно, если- невырожденная.

Матричными называются уравнения вида: ,,,

где матрицы- известны, матрица- неизвестна. Если квадратные матрицыи- невырожденные, то решения матричных уравнений записываются, соответственно, в виде:,,.

Минором -ого порядка матрицы размера называется определитель квадратной матрицы порядка, образованной элементами матрицы, стоящими на пересечении произвольно выбранных еёстрок истолбцов.

Максимальный порядок отличных от нуля миноров матрицы, называется еёрангом и обозначается или, а любой минор порядка, отличный от нуля –базисным минором.