4.2 Основные понятия теории приближения функций

Теорией и практикой приближения (аппроксимации) функции приходится пользоваться при решении многих практических задач.

Например, в процессе некоторого эксперимента в дискретные моменты времени получены значениянекоторой величиныf(x). Требуется восстановить функцию f(x) при других. Подобная же задача возникает при многократном вычислении на ЭВМ одной и той же сложной функцииf в различных точках. Вместо этого часто бывает целесообразно вычислить функцию f в небольшом числе характерных точек , а в остальных точках найти ее значение по некоторому более простому правилу, используя информацию об уже известных значениях.

Другими распространенными примерами аппроксимации функций являются задачи определения производной и интегралапо заданным значениям.

Наконец при составлении алгоритмов стандартных программ для вычисления элементарных и специальных функций снова возникает задача приближение функций.

Классический подход к решению подобных задач заключается в том, чтобы, используя имеющеюся информацию о функции f, рассмотреть другую функцию , близкую в этом смысле кf и позволяющую выполнить над ней соответствующую операцию и получить оценку погрешности такой «аналитической замены».

В процессе численной реализации этого подхода необходимо рассмотреть следующие четыре основных вопроса:

1. Вопрос об имеющейся информации относительно функции f, т.е. о виде, в котором задана функция f. Различают два основных случая: функция f задана либо аналитически, либо в виде таблицы. Графический способ относят к первому, или ко второму случаю в зависимости от конкретной задачи. В дальнейшем будем рассматривать на отрезке непрерывные вместе с достаточным количеством своих производных функций f(x), определенные значениями в узлахзаданной сетки.

2. Вопрос о классе аппроксимирующих функций, т.е. какими функциями будет аппроксимирована функцияf. Во-первых, аппроксимирующая функция должна отражать характерные особенности аппроксимируемой, а во-вторых, быть достаточно удобной в обращении, т.е. при выполнении над ней необходимых операций.

В численном анализе широкое применение имеют 3 группы аппроксимирующих функций. Первая – функции вида 1, х, …,, линейные комбинации которых порождают класс всех много членов степени не вышеn. Вторую группу образуют тригонометрические функции и, порождающие ряды Фурье, и интеграл Фурье. Третья группа состоит из экспоненциальных функций, определяющих явления типа распада и накопления, часто встречающихся в реальных ситуациях.

Принимаем в качестве аппроксимирующей функции многочлен некоторой степени n. В этом случае функция имеет вид .

3. Вопрос о близости аппроксимируемой и аппроксимирующей функций, т.е. о выборе критерия согласия, которому должна удовлетворять функция .

Одним из распространенных критериев согласия является критерий Чебышева, основанный на понятии расстояния как максимальной величины отклонения функции f в узлах.

.

Наибольший интерес представляет частный случай, когда для аппроксимирующей функции расстояние . Это означает, что для табулированной функцииy=f(x), заданной значениями (табл. 2) требуется построить аппроксимирующую функцию, совпадающую в узлах со значениями заданной функцииу=f(x), т.е. такую, что .

Таблица 2. Структура табличного задания функции

Такой способ аппроксимации, основанный на критерии совпадения f и в узлах, называется интерполированием (или интерполяцией). Если аргумент, для которого определяется приближенное значение функции, принадлежит отрезку, то задача вычисления значение функции в точке х называетсяинтерполированием в узком смысле. Если же аргумент х находятся вне отрезка , то поставленная задача называетсяэкстраполированием.

Геометрически задача интерполирование для функции одной переменной y=f(x) означает построение на плоскости Х0У кривой, проходящей через точки с координатами .

Приведем еще один пример критерия согласия. Введем понятие расстояния между функциями f и как суммы квадратов их отклонений в узловых точках:

.

Выберем в качестве аппроксимирующей функции ту, для которой минимально. Этот критерий целесообразно использовать в случае большого количества информации, заданной с невысокой точностью. Метод аппроксимации, основанный на данном критерии, называютметодом наименьших квадратов. К достоинствам этого метода следует отнести простоту и стройность его математической теории.

4. Вопрос о погрешности, т.е. об определении разности между точным и приближенным значениями. В конечном итоге качество метода определяется быстротой получения решения с требуемой точностью (скоростью сходимости). На первый взгляд вопрос о точности получаемого решения кажется довольно простым: необходимо, чтобы приближенное решение отличалось от точного не более чем на заданное . Однако вопрос о возможности сколь угодно точного приближения функцииf в общем случае остается открытым и подлежит исследованию для каждого конкретного аппроксимационного процесса.

Лекция № 10