4.3.10 Интерполирование с кратными узлами

Задача, в которой параметры интерполирования – коэффициенты интерполяционного многочлена – определяются только значениями интерполируемой функции, называют задачей интерполирования по Лагранжу, а сам процесс построения интерполяционного полинома – процессом Лагранжа.

Рассмотрим теперь более широкую задачу – задачу интерполирования по значениям функции и ее производных , или задачу кратного интерполирования.

Пусть на сетке в узлах заданы значениянекоторой функцииf и ее производные

,

причем требуется построить многочлен, значения которого и производные до порядкав узлах(i=0,1,…,m) совпадают со значениями и соответствующими ее производными, а также оценить погрешность.

Такой вид интерполирования называют интерполированием по Эрмиту, а соответствующий многочлен-многочленом Эрмита. Числа называют кратностями узлов. При этом можно доказать, что многочлен Эрмита существует и единственен.

.

Остаточный член интерполяционной формулы …. можно представить в следующем виде:

.

. (4.44)

Пусть для определенности

. (4.45)

Используя это ограничение и формулу (4.44), получим оценку погрешности для фиксированной точки x:

. (4.46)

Построение равномерной на всем отрезке [a,b] оценки для фиксированной сетки теперь не представляет труда. Действительно,

, (4.47)

где

. (4.48)

Пример 4.4. Построить интерполяционный многочлен Эрмита для функции по узламсоответственно с кратностями. Получить равномерную оценку погрешности на отрезке [-1,1].

Вычислим в заданных узлах значение функции и ее производной:

;

Построим многочлен Эрмита с учетом кратностей узлов:

.

Найдем оценку погрешностей. Используя формулу (4.47) и учитывая, что для рассматриваемой функции , получим

.

Нетрудно показать, что . Поэтому окончательно имеем.