Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов
Метод последовательного дифференцирования. Пусть дано дифференциальное уравнение n-го порядка:
(5.55)
с начальными условиями
. (5.56)
Правая часть этого уравнения есть аналитическая функция в начальной точке . Представим решениеуравнения (5.55) в окрестностях точки х0 в виде ряда Тейлора:
(5.57)
где , аh – достаточно малая величина.
Для нахождения коэффициентов ряда (5.57) уравнение (5.55) дифференцируют по х нужное число раз, используя условия (5.56).
На практике величину берут настолько малой, что при требуемой степени точности остатком ряда можно пренебречь.
Если, то получается ряд Тейлора по степенямх:
(5.58)
Метод неопределенных коэффициентов. Пусть дано дифференциальное уравнение
, (5.59)
с начальным условием .
Метод неопределенных коэффициентов состоит в том, что решение уравнения (5.59) отыскивают в виде ряда с неизвестными коэффициентами
(5.60)
которые находят с помощью подстановки ряда (5.60) в уравнение (5.59), зачем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х и используют начальное условие. Найденные значения коэффициентов подставляют в ряд (5.60).
Метод Эйлера
Решить дифференциальное уравнение численным методом - это значит для заданной последовательности аргументов и числа, не определяя функциюу = F(x), найти такие значения что(i = 1,2,...,n) и .
Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции у = F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина называетсяшагом интегрирования. Рассмотрим некоторые из численных методов.
Метод Эйлера является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов.
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
, (5.61)
с начальным условием
. (5.62)
Требуется найти решение уравнения (5.61) на отрезке [а, b].
Разобьем отрезок [а,b] на n равных частей и получим последовательность , где(i = 1, 2,..., n), a - шаг интегрирования.
Выберем k-й участок и проинтегрируем уравнение (5.61):
. (5.63)
Тогда формула (5.63) примет вид
(5.64)
Обозначив, т.е., получим
(5.65)
Продолжая этот процесс и каждый раз принимая подынтегральную функцию на соответствующем участке постоянной и равной ее значению в начале участка, получим таблицу решений дифференциального уравнения на заданном отрезке [а, b].
Если функция f(x,y) в некотором прямоугольнике
удовлетворяет условию
(N = const) (5.66)
и, кроме того.
(М = const) (5.67)
то имеет место следующая оценка погрешности:
, (5.68)
где - значение точного решения уравнения (5.61) при,а -приближенное значение, полученное на n-м шаге.
Формула (5.68) имеет в основном теоретическое применение. На практике, как правило, применяют "двойной просчет". Сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом . Погрешность более точного значения оценивается формулой
(5.69)
Метод Эйлера может быть применен к решению систем дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений высших порядков. Однако в последнем случае дифференциальные уравнения должны быть приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.
Пусть задана система двух уравнений первого порядка
(5.70)
с начальными условиями
, (5.71)
Приближенные значения инаходятся по формулам
, (5.72)
где ,(i = 0,1,2,…). (5.73)
Метод Рунге-Кутта
Метод Рунге-Кутта является одним из методов повышенной точности. Он имеет много общего с методом Эйлера.
Пусть на отрезке [а, b] требуется найти численное решение уравнения
, (5.74)
с начальным условием
. (5.75)
Разобьем отрезок [а, b] на n равных частей точками (i = 1,2,..., n, a - шаг интегрирования). В методе Рунге-Кутта, так же, как и в методе Эйлера, последовательные значения у, искомой функции у определяются по формуле
. (5.76)
Если разложить функцию у в ряд Тейлора и ограничиться членами до включительно, то приращение функцииможно представить в виде
, (5.77)
где производные ,,находят последовательным дифференцированием из уравнения (5.74).
Вместо непосредственных вычислений по формуле (5.26) методом Рунге-Кутта определяют четыре числа:
(5.78)
Можно доказать, что если числам придать соответственно веса 1/6; 1/3; 1/3; 1/6, то средневзвешенное этих чисел, т.е.
(5.79)
с точностью до четвертых степеней равно значению , вычисленному по формуле (5.77):
. (5.80)
Таким образом, для каждой пары текущих значений ипо формулам (5.27) определяют значения
(5.81)
Метод Рунге-Кутта имеет порядок точности на всем отрезке [а,b]. Оценка точности этого метода очень затруднительна. Грубую оценку погрешности можно получить с помощью "двойного просчета" по формуле
, (5.82)
где - значение точного решения уравнения (5.74) в точкеаи- приближенные значения, полученные с шагомh/2 и h.
Если - заданная точность решения, то числоn (число делений) для определения шага интегрирования выбирается таким образом, чтобы
. (5.83)
Однако шаг расчета можно менять при переходе от одной точки к другой.
Для оценки правильности выбора шага h используют равенство
, (5.84)
где q должно быть равно нескольким сотым, в противном случае шаг h уменьшают.
Метод Рунге-Кутта может быть применен и к решению систем дифференциальных уравнений.
Пусть задана система дифференциальных уравнений первого порядка
(5.85)
с начальными условиями
, ,. (5.86)
В этом случае параллельно определяются числа и:
(5.87)
где ;
;
;
;
;
;
;
.
Тогда получим решение системы
, . (5.88)
Экстраполяционный метод Адамса
При решении дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта необходимо производить много вычислений для нахождения каждого. В том случае, когда правая часть уравнения сложное аналитическое выражение, решение такого уравнения методом Рунге-Кутта вызывает большие трудности. Поэтому на практике применяется метод Адамса, который не требует многократного подсчета правой части уравнения.
Пусть дано дифференциальное уравнение
, (5.89)
с начальным условием
, . (5.90)
Требуемся найти решение этого уравнения на отрезке [a.b].
Разобьем отрезок [a,b] на n равных частей точками (i = 1, 2,..., n), a – проинтегрируем дифференциальное уравнение). Выберем участоки проинтегрируем дифференциальное уравнение (5.89); тогда получим
,
или
. (5.91)
Для нахождения производной воспользуемся второй интерполяционной формулой Ньютона (ограничиваясь при этом разностями третьего порядка):
. (5.92)
или
. (5.93)
Подставляя выражение для из формулы (5.93) в соотношение (5.91) и учитывая, что, имеем
(5.94)
Обозначим в дальнейшем (i = 0,1,2,…,n).
Тогда для любой разности имеем и
. (5.95)
По формуле получаем решение уравнения. Формула (5.95) носит названиеэкстраполяционной формулы Адамса.
Для начала процесса нужны четыре начальных значения - так называемыйначальный отрезок, который может быть найден, исходя из начального условия (5.90) с использованием одного из известных методов. Обычно начальный отрезок решения находится методом Рунге-Кутта.
Зная можно определить
; ;
; . (5.96)
Далее составляется таблица разностей величины q (табл. 7).
Таблица 7. Таблица разностей величины q
I | ||||||||
(1) | (2) | (3) | (4) | (5) | (6) | (7) | (8) | (9) |
0 | - | |||||||
1 | - | - | ||||||
2 | - | - | - | |||||
3 | - | - | - | |||||
4 | - | - | - | - | - | - | ||
5 | - | - | - | - | - | - | - | |
6 | - | - | - | - | - | - | - |
Метод Адамса заключается в продолжении диагональной таблицы разностей с помощью формулы (5.95). Используя числа , которые располагаются в таблице по диагонали, пологая в формуле (5.95)n = 3 (известное последнее значение у есть ), получаем:
.
Полученное значение вносят и таблицу и находят. Затем используя значения и находят т.е. получается новая диагональ. По этим данным вычисляют
.
Таким образом, продолжают таблицу решения, вычисляя правую часть дифференциального уравнения (5.89) на каждом этапе только один раз.
Для грубой оценки погрешности применяют принцип Рунге, который состоит в следующем:
Находят решение дифференциального уравнения при шаге h.
Значение шага удваивают и находят решение при шаге Н = 2h.
3. Вычисляют погрешность метода по формуле
, (5.97)
где - значение приближенного вычисления при двойном шагеH=2h; - значение приближенного вычисления при шагеh.
Метод Адамса применяется также и для решения систем дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений n-гo порядка.
Пусть задана система двух уравнений
(5.98)
Тогда экстраполяционные формулы Адамса для этой системы имеют вид
(5.99)
где и,
.
Лекция № 17
Yandex.RTB R-A-252273-3- Министерство образования и науки Российской Федерации
- Оглавление
- Лекция № 1
- 1. Особенности математических вычислений, реализуемых на эвм: теоретические основы численных методов: погрешности вычислений
- 1.1. Дискретизация
- 1.3. Погрешность
- 1.4. Устойчивость и сложность алгоритма (по памяти, по времени)
- 2.1. Основные понятия линейной алгебры. Классификация методов решения
- 2.2. Метод исключения Гаусса. Вычисление определителя и обратной матрицы методом исключения
- 2.3. Численные методы решения линейных уравнений
- 2.3.1. Метод прогонки
- 2.3.2. Итерационные методы
- 3.1. Решение нелинейных уравнений
- 3.1.1. Метод половинного деления
- 3.1.2. Метод простой итерации
- 3.1.3. Метод Ньютона
- 3.1.4. Метод секущих
- 3.1.5. Метод парабол
- 3.2. Методы решения нелинейных систем уравнений
- 4.1.Функция и способы ее задания
- 4.2 Основные понятия теории приближения функций
- 4.3 Интерполяция функций
- 4.3.1 Интерполирование с помощью многочленов
- 4.3.2 Погрешность интерполяционных методов
- 4.3.3 Интерполяционный многочлен Лагранжа
- 4.3.4 Конечные разности
- 4.3.5 Интерполяционные многочлены Стирлинга и Бесселя
- 4.3.6 Интерполяционные многочлены Ньютона
- 4.3.7 Разделенные разности
- 4.3.8 Интерполяционный многочлен Ньютона для произвольной сетки узлов
- 4.3.9 Итерационно-интерполяционный метод Эйткина
- 4.3.10 Интерполирование с кратными узлами
- 4.4 Равномерное приближение функций. Приближение методом наименьших квадратов
- 5.1. Численное дифференцирование
- 5.2. Формулы численного интегрирования
- 5.3. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод конечных разностей для численного решения дифференциальных уравнений
- Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов
- 5.4. Преобразование Фурье
- 5.4.1 Применения преобразования Фурье
- 5.4.2 Разновидности преобразования Фурье Непрерывное преобразование Фурье
- Ряды Фурье
- Дискретное преобразование Фурье
- Оконное преобразование Фурье
- Другие варианты
- 5.4.3 Интерпретация в терминах времени и частоты
- 5.4.4 Таблица важных преобразований Фурье
- Библиографический список