20. Группа подстановок.

Теорема Силова. Если порядок конечной группы делится на степень p^r простого числа p, то эта группа имеет подгруппу порядка p^r.

Силовская подгруппа. Если  G = p^k s и s не делится на p, то подгруппы порядка p^k группы G называются силовскими p-подгруппами.

Следствие 1. Если порядок конечной группы делится на простое число p, то в группе имеется элемент порядка p.

Следствие 2. Порядок любой конечной p-группы является степенью числа p.

Основная теорема об абелевых группах. Любая конечная абелева группа разлагается в прямое произведение циклических групп, порядки которых являются степенями простых чисел; множество степеней простых чисел, являющихся порядками указанных групп, однозначно определяется порядком самой группы.

Это надо понимать следующим образом: если , то можно указать такие циклические группы A₁, A₂, . . . , A_k порядков , соответственно, что . Отсюда следует, что конечная абелева группа однозначно определяется с точностью до изоморфизма конечным набором степеней простых чисел.

Пусть даны множество H = {1, 2, . . . , n} и группа подстановок  этого множества. Стабилизатором элемента x  H называется следующая подгруппа группы :

_x = {    x^ = x}

Орбитой элемента x относительно группы  называется множество x^ = { x^   }. В обоих случаях через x^  обозначается элемент, в который подстановка  переводит x.

Группа подстановок  множества H называется регулярной, если для каждого x  H имеет место _x = 1.