Тема 5. Прямые линии и плоскости.

Нормальным вектором прямой , называется всякий ненулевой вектор перпендикулярный данной прямой.Направляющим вектором прямой , называется всякий ненулевой векторпараллельный данной прямой.

Прямая на плоскости в системе координат может быть задана уравнением одного из следующих видов:

1) -общее уравнение прямой, где - нормальный вектор прямой;

2) - уравнение прямой, проходящей через точкуперпендикулярно данному вектору;

3) - уравнение прямой, проходящей через точкупараллельно данному вектору(каноническое уравнение);

4) - уравнение прямой, проходящей через две данные точки,;

5) -уравнения прямой с угловым коэффициентом , где - точка через которую прямая проходит;() – угол, который прямая составляет с осью;- длина отрезка (со знаком), отсекаемого прямой на оси(знак «», если отрезок отсекается на положительной части оси и «», если на отрицательной).

6) -уравнение прямой в отрезках, где и- длины отрезков (со знаком), отсекаемых прямой на координатных осяхи(знак «», если отрезок отсекается на положительной части оси и «», если на отрицательной).

Расстояние от точки до прямой, заданной общим уравнениемна плоскости, находится по формуле:

.

Угол ,() между прямыми и, заданными общими уравнениями или уравнениями с угловым коэффициентом, находится по одной из следующих формул:

; .

, если или.

,если или

Координаты точки пересечения прямых инаходятся как решение системы линейных уравнений:или.

Нормальным вектором плоскости , называется всякий ненулевой векторперпендикулярный данной плоскости.

Плоскость в системе координат может быть задана уравнением одного из следующих видов:

1) -общее уравнение плоскости, где - нормальный вектор плоскости;

2) - уравнение плоскости, проходящей через точкуперпендикулярно данному вектору;

3) - уравнение плоскости, проходящей через три точки,и;

4) -уравнение плоскости в отрезках, где ,и- дины отрезков (со знаком), отсекаемых плоскостью на координатных осях,и(знак «», если отрезок отсекается на положительной части оси и «», если на отрицательной).

Расстояние от точки до плоскости, заданной общим уравнением, находится по формуле:

.

Угол ,() между плоскостями и , заданными общими уравнениями, находится по формуле:

.

, если

, если .

Прямая в пространстве в системе координат может быть задана уравнением одного из следующих видов:

1) -общее уравнение прямой, как линии пересечения двух плоскостей, где и- нормальные векторы плоскостейи;

2) - уравнение прямой, проходящей через точкупараллельно данному вектору(каноническое уравнение);

3) - уравнение прямой, проходящей через две данные точки,;

4) -уравнение прямой, проходящей через точку параллельно данному вектору,(параметрическое уравнение);

Угол ,()между прямыми и в пространстве, заданными каноническими уравнениями находится по формуле:

.

, если .

, если .

Координаты точки пересечения прямой , заданной параметрическим уравнениеми плоскости , заданной общим уравнением, находятся как решение системы линейных уравнений:.

Угол ,()между прямой , заданной каноническим уравнениеми плоскостью , заданной общим уравнением находится по формуле:.

, если .

, если .