4 .1. Определения и свойства.

Н апомним определение из векторной алгебры.

Опр. 4.1.1. Пусть точки A, B, C лежат на одной прямой. Число  называется простым отношением трех точек A, B, C, если AC;\s\up10( –( =  CB;\s\up10( –(. Это

равносильно тому, что точка C делит отрезок AB в отношении  >0, если C лежит между A и B. Если же C лежит за пределами отрезка AB , то будет  < 0. Пишем  = (AB,C) или  = (ABC). Хотя не существует операции деления одного вектора на другой, мы будем писать  = AC;\s\up10( –(/CB;\s\up10( –(, если AC;\s\up10( –(CB;\s\up10( –(.

Простое отношение трех точек сохраняется при параллельном проецировании. Но легко показать, что оно не сохраняется при центральном проецировании, т.е. оно не является проективным понятием. Поэтому в проективной геометрии вводится сложное отношение 4 точек.

Опр. 4.1.2. Сложным отношением четырех собственных точек A, B, C, D, лежащих на одной прямой, называется число

(ABCD) = ⁼ : ⁼ .

Будем также использовать такое обозначение сложного отношения: (AB, CD).

Из 4-х букв можно образовать 24 перестановки. Однако различных значений сложных отношений 4 заданных точек одной прямой может быть только шесть.

Теорема 4.1.1. При перестановке пар A,B и C,D значение сложного отношения сохраняется.

По определению (CD, AB) ^{= = =} (AB, CD).

Свойства сложных отношений. Пусть

1. (AB, CD) = . Тогда

2. (AB, DC) = 1/ ;

3. (AC, BD) = 1 –  ;

4. (AD, BC) = 1 ^– = ;

5. (AC, DB) = ;

6. (AD, CB) = ;

Докажем, например, свойство 2. По определению имеем:

(AB, DC) = = ^–1= = .

В каждом из пунктов 1 – 6 имеется по 4 равных значения для исходного значения сложного отношения. Возможны также частные случаи:

а) D = C  (AB, CC) = 1;

б) D = B  (AB, CB) = 0;

в) D = A  (AB, CA) =  .

Теорема 4.1.2. Пусть D – несобственная точка. Тогда (ABCD_) = – (AB,C).

(ABCD_) = . Вычисляем

(AB, D_) =Combin(AB, D) = Combin = Combin = Combin – 1 = – 1 

 (ABCD_) = = – (AB,C).

П

A, B ––;\s\up2(· · С, D

Если A, B ––;\s\up2(· · С, D , то (AB, CD) > 0. Если A, B  С, D , то (AB, CD) < 0.

Отношение разделенности (неразделенности) пар точек сохраняется при проективных преобразованиях.