4.3.3 Интерполяционный многочлен Лагранжа

Интерполяционный многочлен Лагранжа представляет собой линейную комбинацию

, (4.10)

где .

Выражение (3.10) есть многочлен степени не выше n. В узле этот многочлен принимает значение, так как

(i=0,1,…,n);

.

Учитывая, что

,

Можно рассмотреть его производную в точке :

и записать многочлен Лагранжа в виде

.

Величины являются как бы весовыми многочленами соответствующих узлов и называются множителями Лагранжа.

Интерполяционный многочлен Лагранжа для равноотстоящих узлов интерполяции (т.е. гдеh – шаг интерполяции) можно записать в виде

, (4.11)

где

; .

Пример 2.Функция y=sin(x) задана в виде таблицы (табл.3)

Таблица 3. Данные к примеру 2

Пользуясь интерполяционным многочленом Лагранжа, определить ее значение в точке . Оценить погрешность.

Прежде всего определим . Подставляя в формулу (4.11) полученное значение и значениеприn=2, имеем

Для оценки погрешности воспользуемся формулой (4.9). Тогда поэтому

.

При вычислении погрешности градусную меру следует перевести в радиальную.

Итак, получили .

Лекция № 11