Уравнение с оператором с особенностью , свойства, ограниченность, постановка задачи.
Теория специальных функция – это теория следующих уравнений: (*) - линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Пусть функция , т.е. - нуль первого порядка. Решение (*) всегда: . Рассмотрим решение в окрестности особой точки, в которой обращается в ноль.
Теорема. Если уравнение имеет ограниченное в точке решение , то все остальные решения (линейно независимые) не ограничены: . То есть существует одно ограниченное решение.
Доказательство: Из теории ОДУ знаем, что , - Вронскиан двух решений. Докажем: , тогда , чтд.
У нас ограничено, а - нет. Рассмотрим следующую величину: . Проинтегрируем эту величину: , , следовательно, этот интеграл расходится при , а это значит, что , чтд.
Уточним теорему: рассмотрим два случая.
1. в окрестности точки , ~ , т.е. как логарифм.
2. ~ ~ - полюс порядка .
Проанализируем получившееся решение:
| Если требуется ограниченное решение в особой точке, то , т.к. . Так как полное решение (*) всегда является суммой двух решений: ограниченного и неограниченного, то ограниченность этого первого решения уже есть само по себе граничное условие. |
- Оглавление
- Уравнение Лапласа и Пуассона.
- Физический смысл стационарной задачи
- Примеры
- Понятие о потенциалах
- Постановка задач
- Первая и вторая формулы Грина с оператором , следствия.
- Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства.
- Примеры
- Свойства гармонических функций.
- Теорема о среднем для гармонических функций
- Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле.
- Следствия:
- Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений.
- Функция Грина для задачи с уравнением , понятия, определения.
- Решение задач с её помощью
- Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке
- Теория потенциалов, определение, основные свойства.
- Объёмный потенциал
- Потенциал простого слоя
- Потенциал двойного слоя
- Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов
- Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах:
- Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры.
- Уравнение с оператором с особенностью , свойства, ограниченность, постановка задачи.
- Уравнение Бесселя.
- Особенность, построение ограниченного решения .
- Общее решение, , , , понятие о функциях .
- Асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя.
- Краевая задача на собственные значения: , её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д.
- Модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции .
- Сводная таблица.
- Краевая задача с двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора .
- Уравнение гипергеометрического типа.
- Приведение к самосопряжённому виду. Весовые функции . Уравнение для производных(в следующем пункте).
- Решение в виде полиномов. Формула Родрига.
- Ортогональные решения полиномов. Свойства нулей.
- Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов
- Полиномы Лежандра.
- Полиномы Чебышева-Лягера.
- Чебышева-Эрмита.
- Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида.
- Уравнения, краевая задача для присоединенных полином Лежандра. Решения. Основные свойства.
- Уравнение Лапласа в сферических координатах. Схема решения методом разделения переменных.
- Сферические функции, определения, построение системы базисных функций. Ортогональность, полнота, теорема о разложении, б/д.