Тема 6. Кривые второго порядка.

Алгебраической кривой второго порядка в системе координат называется кривая,общее уравнение которой имеет вид:

,

где числа - не равны нулю одновременно. Существует следующая классификация кривых второго порядка:1) если , то общее уравнение определяет кривуюэллиптического типа (окружность (при ), эллипс (при), пустое множество, точку);2) если , то - кривуюгиперболического типа (гиперболу, пару пересекающихся прямых); 3) если , то - кривуюпараболического типа (параболу, пустое множество, прямую, пару параллельных прямых) . Окружность, эллипс, гипербола и парабола называются невырожденными кривыми второго порядка.

Общее уравнение, где, определяющее невырожденную кривую (окружность, эллипс, гиперболу, параболу), всегда (методом выделения полных квадратов) можно привести к уравнению одного из следующих видов:

1а) -уравнение окружности с центром в точке и радиусом(рис. 5).

1б) - уравнение эллипса с центром в точке и осями симметрии, параллельными координатным осям. Числаи- называютсяполуосями эллипса; прямоугольник со сторонами ,параллельными осям симметрии и центром в точке-основным прямоугольником эллипса; точки пересечения основного прямоугольника с осями симметрии - вершинами эллипса.

Для построения эллипса в системе координат :1) отмечаем центр эллипса;2) проводим через центр пунктирной линией оси симметрии эллипса; 3) строим пунктиром основной прямоугольник эллипса с центром и сторонами,параллельными осям симметрии;4) изображаем сплошной линией эллипс, вписывая его в основной прямоугольник так, чтобы эллипс касался его сторон только в вершинах эллипса (рис.6) .

Аналогично строится и окружность, основной прямоугольник которой имеет стороны (рис. 5).

Рис.5 Рис 6

2) - уравнения гипербол (называемых сопряжёнными) с центром в точке и осями симметрии, параллельными координатным осям. Числаи- называютсяполуосями гипербол; прямоугольник со сторонами ,параллельными осям симметрии и центром в точке-основным прямоугольником гипербол; точки пересечения основного прямоугольника с осями симметрии - вершинами гипербол; прямые , проходящие через противоположные вершины основного прямоугольника –асимптотами гипербол.

Для построения гиперболы в системе координат :1) отмечаем центр гиперболы ;2) проводим через центр пунктирной линией оси симметрии гиперболы;3) строим пунктиром основной прямоугольник гиперболы с центром и сторонамиипараллельными осям симметрии;4) проводим через противоположные вершины основного прямоугольника пунктирной линией прямые, являющиеся асимптотами гиперболы, к которым неограниченно близко, при бесконечном удалении от начала координат, приближаются ветви гиперболы, не пересекая их; 5) изображаем сплошной линией ветви гиперболы (рис. 7) или гиперболы(рис. 8).

Рис.7 Рис.8

3а) - уравнение параболы с вершиной в точкеи осью симметрии, параллельной координатной оси(рис. 9).

3б) - уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной координатной оси(рис. 10).

Для построения параболы в системе координат :1) отмечаем вершину параболы ;2) проводим через вершину пунктирной линией ось симметрии параболы;3) изображаем сплошной линией параболу, направляя её ветвь, с учётом знака параметра параболы : при- в положительную сторону координатной оси, параллельной оси симметрии параболы (рис. 9а и 10а); при- в отрицательную сторону координатной оси (рис.9б и 10б) .

Рис. 9а Рис. 9б

Рис. 10а Рис. 10б