Декартово произведение множеств. Способы задания множеств и наглядности представления. Свойства декартово произведения.

Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех пар первая компонента которых принадлежит А, а вторая компонента принадлежит множеству В. Декартовым произведением множеств А1 А2 А3 …. Аn, называется множество всех кортежей длины n, первая компонента которых принадлежит множеству А1 вторая множеству А2…. Аn принадлежит множеству Аn.

Способы задания множеств. Множества можно задать с помощью таблицы и координатной прямой.

Если декартово произведение содержит небольшое количество элементов то изобразить произведение можно в таблице или при помощи рисунка. Если два элемента то изображают на координатной прямой.

Свойства декартово произведения.

Рассмотрим несколько свойств декартова произведения:

1. Если A,B — конечные множества, то A×B — конечное. И наоборот, если одно из множеств-сомножителей бесконечное, то и результат их произведения — бесконечное множество.

2. Количество элементов в декартовом произведении равно произведению чисел элементов множеств-сомножителей (в случае их конечности, разумеется): |A×B|=|A|⋅|B|.

3. Anp≠(An)p — в первом случае целесообразно рассмотреть результат декартова произведения как матрицу размеров 1×np, во втором же — как матрицу размеров n×p.

4. Коммутативный закон не выполняется, т.к. пары элементов результата декартова произведения упорядочены: A×B≠B×A.

5. Ассоциативный закон не выполняется: (A×B)×C≠A×(B×C).

Имеет место дистрибутивность относительно основных операциях на множествах: (A∗B)×C=(A×C)∗(B×C),∗∈{∩,∪,∖.

3. Содержание

   • Операции над множествами. Свойства операций, их иллюстрации с помощью диаграмм Эйлера.
   • Декартово произведение множеств. Способы задания множеств и наглядности представления. Свойства декартово произведения.
   • Число элементов и объединения, разности, декартовом произведении множества.
   • Теоретико-множественный смысл сложения, вычитания.
   • Теоретико-множественный умножения и деления целых неотрицательных чисел.
   • Теоретико-множественный смысл арифметических операций в множестве z свойств.
   • Аксиоматический метод в математике. Требования к системе аксиом.
   • Система аксиом Пеано. Аксиоматические определение натурального числа.
   • Наименьший элемент
   • Умножение натуральных чисел в аксиоматической теории. Законы умножения.
   • Свойства множества натуральных чисел.
   • Вычитание и деление в аксиоматической теории. Основные свойства.
   • Множество целых неотрицательных чисел.
   • Деление с остатком.
   • Предмет и значение логики. Понятие. Объем и содержание понятия. Основные операции над понятиями.
   • Определение понятий. Виды определения понятий. Требования к правильному определению понятий.
   • Простые суждения. Структура простого высказывания. Классификация простых высказываний.
   • Состав простого суждения
   • Сложные высказывания. Логические операции : отрицание простых и сложных высказываний. Таблицы истинности.
   • Отношение логического следования и логической равносильности. Теорема. Структура теоремы и виды теорем.
   • Умозаключения. Общая характеристика и виды умозаключений.
   • Основные правила построения умозаключений . Проверка правильности умозаключений.
   • Индуктивные умозаключения и их виды. Умозаключения по аналогии.
   • Доказательство математических утверждений. Структура доказательства. Непрямое доказательство.
   • Доказательство утверждений методом математической индукции.