Первая и вторая формулы Грина с оператором, следствия.

Пусть функции u,v дважды непрерывно дифференцируемы. Введём скалярное произведение: .

Формулы Грина:

1. Применим к u оператор L и перемножим скалярно с v: . Выведем эту формулу. Распишем скалярное произведение:. Рассмотрим отдельно первое слагаемое:. Для того чтобы воспользоваться формулой Гаусса - Остроградского преобразуем это выражение следующим образом - внесёмпод знак дивергенции так:, тогдатеперь применим формулу Гаусса - Остроградского. Тогда наше скалярное произведение перепишется следующим образом:- первая формула Грина.

2. . – вторая формула Грина.

Теорема о единственности краевых задач:

Доказательство: Воспользуемся первой формулой Грина: , где,,

Рассмотрим все три типа краевых задач:

Первая краевая задача: +=0 – т.е. сумма 2-х положительных величин, она равняется нулю тогда, когда =0, и в силуполучаем, что, ч.т.д.

Третья краевая задача: из условия теоремы следует, чтот.е. получаем сумму 3-х положительных величин, она равняется нулю тогда, когда.

Вторая краевая задача:

Рассмотрим два случая:

Физический смысл соотношений, получаемых с помощью формул Грина.

Рассмотрим задачу и,u – решение ,

И пусть =1:

Используя 1-ую формулу Грина получаем ( ,=1)т.е. если решение рассмотренной задачи существует, то дляf и g выполняется условие ,и решение не существует, если оно не выполняется. Это соотношение имеет физический смысл Тепло, выделяющееся источником внутри области, равно теплу, выходящему из области через границу в единицу времени.

3. Содержание

   • Оглавление
   • Первая и вторая формулы Грина с оператором, следствия.
   • Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства.
   • Примеры
   • Свойства гармонических функций.
   • Теорема о среднем для гармонических функций
   • Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле.
   • Следствия:
   • Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений.
   • Функция Грина для задачи с уравнением, понятия, определения.
   • Решение задач с её помощью
   • Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке
   • Теория потенциалов, определение, основные свойства.
   • Объёмный потенциал
   • Потенциал простого слоя
   • Потенциал двойного слоя
   • Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов
   • Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах:
   • Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры.
   • Уравнение с операторомс особенностью, свойства, ограниченность, постановка задачи.
   • Уравнение Бесселя.
   • Особенность, построение ограниченного решения .
   • Общее решение, ,,,понятие о функциях .
   • Асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя.
   • Краевая задача на собственные значения: ,её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д.
   • Модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции .
   • Сводная таблица.
   • Краевая задачас двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора.
   • Уравнение гипергеометрического типа.
   • Приведение к самосопряжённому виду. Весовые функции . Уравнение для производных(в следующем пункте).
   • Решение в виде полиномов. Формула Родрига.
   • Ортогональные решения полиномов. Свойства нулей.
   • Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов
   • Полиномы Лежандра.
   • Полиномы Чебышева-Лягера.
   • Чебышева-Эрмита.
   • Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида.
   • Уравнения, краевая задача для присоединенных полином Лежандра. Решения. Основные свойства.
   • Уравнение Лапласа в сферических координатах. Схема решения методом разделения переменных.
   • Сферические функции, определения, построение системы базисных функций. Ортогональность, полнота, теорема о разложении, б/д.