Тема 4. Векторная алгебра.

Вектором (геометрическим) называется направленный отрезок, задаваемый упорядоченной парой точек (началом и концом вектора). Обозначают вектор или. Расстояние между началом и концом вектора называется егодлиной и обозначается или.Углом между векторами иназывается угол,, на который следует повернуть один из векторов, чтобы его направление совпало с направлением другого вектора, при условии, что их начала совпадают.Проекцией вектора на вектор называется число .

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы называются компланарными, если они расположены в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Векторы иназываютсяравными и пишут , если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины. Векторыиназываютсяпротивоположными и пишут , если они коллинеарны, направлены в разные стороны и имеют равные длины.

Суммой векторов иназывается вектор, соединяющий начало вектораи конец вектора, при условии, что конец векторасовпадает с началом вектора(правило треугольника). Произведением вектора на действительное числоназывается вектор :

1) коллинеарный вектору ;2) имеющий длину ;3) направленный одинаково с вектором , если, и противоположно, если.

Ортом вектора , называется вектор, имеющий единичную длину и направление вектора:.

Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов,базисом на плоскости – упорядоченная пара неколлинеарных векторов, базисом на прямой – любой ненулевой вектор на этой прямой. Базис, в котором все векторы попарно перпендикулярны и имеют единичную длину, называетсяортонормированным. Векторы ортонормированного базиса обозначаются: и, и называютсябазисными ортами. Различают правый и левый ортонормированные базисы. Базис -называется правым, если кратчайший поворот отксовершается против хода часовой стрелки, в противном случае он – левый. Базис-называется правым, если из конца векторакратчайший поворот от вектораквиден совершающимся против хода часовой стрелки, в противном случае он – левый.

Условием коллинеарности векторов иявляется равенство:, где- некоторое число.Условием компланарности векторов ,иявляется равенство:, где- некоторые числа.

Всякий геометрический вектор может быть разложен единственным образом по векторам базиса, коэффициенты разложения называются при этом координатами вектора в данном базисе. Например, если - базиси, то всегда существует единственное разложение:, где числа- координаты векторав базисе, при этом пишут. Если взафиксирован ортонормированный базиси, то равносильны записи:и(в записи вектора в координатной форме ортонормированный базис не указывают).

Представление геометрических векторов в координатной форме, позволяет выполнять действия над ними, как над арифметическими векторами:

;

.

Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называется совокупность точки (начало координат) и правого ортонормированного базисаи обозначается. Прямые,,, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называютсякоординатными осями: первая – осью абсцисс, вторая – осью ординат, третья – осью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями. Аналогично вводится система координат на плоскости: .

Пусть - произвольная точка пространства, в котором введена система координат=.Радиус-вектором точки называется вектор, который всегда единственным образом можно представить в виде:. Числа, являющиеся координатами радиус-вектора, совпадают с проекциями векторана базисные ортыи(на координатные осии).Координатами точки в системе координатназываются координаты её радиус-вектораи пишут. В свою очередь, координаты точкиполностью определяют её радиус-вектор. Всякий геометрический векторв системе координат, всегда можно представить как радиус-вектор некоторой точки и записать в виде:.

Длина вектора, заданного координатами, определяется формулой:.Направляющими косинусами вектора называются числа:,,, при этом.

Координаты вектора, заданного точкамииопределяются по формуле:. Расстояниемежду точкамииопределяется как длина вектораи находится по формуле:

.

Координаты точки делящей отрезокпополам находятся по формулам:,,.

Скалярным произведением векторов иназывается число. Скалярное произведение обладает свойствами:

1) ; 2) где - число;