Тема 3. Системы линейных уравнений.

…Система уравнений вида: называетсясистемой линейных уравнений снеизвестными. Числа называются коэффициентами системы,- свободными членами системы,- неизвестными системы.

В матричной форме система имеет вид: , где,,.Здесь-матрица системы,-матрица-столбец неизвестных,-матрица-столбец свободных членов.

Если , то система называетсяоднородной, в противном случае неоднородной.

Система, матрица которой является треугольной с диагональными элементами, называетсятреугольной. Система, матрица которой является трапециевидной, называетсятрапециевидной.

Решением системы называется всякий упорядоченный набор чисел , обращающий каждое уравнение системы в равенство. Совокупность всех решений называетсямножеством решений системы.

Система называется совместной, если она имеет, по крайней мере, одно решение; определённой, если она имеет только одно решение; неопределённой, если она имеет бесконечно много решений; несовместной, если она не имеет решений.

Однородная система уравнений всегда совместна, так как всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение . Треугольная система является определённой, трапециевидная система – неопределённой.

Две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

Элементарными преобразованиями систем уравнений называются:

1) перестановка уравнений;

2) перестановка местами слагаемых в каждом из уравнений системы;

3) умножение уравнения на число, отличное от нуля;

4) прибавление к уравнению другого, умноженного на любое число;

5) вычёркивание уравнения вида: .

Основными точными методами решения систем линейных уравнений являются методы: Крамера, обратной матрицы и Гаусса.

Если число уравнений в системе совпадает с числом неизвестныхи определитель матрицы системы, то система имеет единственное решение, которое можно найти:

а) методом Крамера по формулам: ,,где - определитель, получаемый из определителя матрицы системызаменой-ого столбца на столбец свободных членов;

б) методом обратной матрицы по формуле .

Методом Гаусса находят решение произвольной системы линейных уравнений. Метод состоит в приведении системы уравнений, с помощью элементарных преобразований, к системе специального вида, эквивалентной исходной, решение которой очевидно. Преобразования по методу Гаусса выполняют в два этапа. Первый этап называют прямым ходом, второй - обратным.

В результате прямого хода выясняют: совместна или нет система и если совместна то, сколько имеет решений - одно или бесконечно много, а также, в случае бесконечного множества решений, указывают базисные и свободные неизвестные для записи общего решения системы. Преобразования прямого хода выполняют, как правило, над расширенной матрицей системы , которую получают, приписывая справа к матрице системыстолбец свободных членов. В результате элементарных преобразований строк и перестановкой столбцов, матрица системыдолжна быть приведена к матрицетреугольного или трапециевидного вида с элементами. При этом, система уравнений, матрица которой, является треугольной с диагональными элементами , будет иметь единственное решение; система уравнений, матрица которой , является трапециевидной с элементами, будет иметь бесконечно много решений. Если, при выполнении преобразований расширенной матрицы, в преобразованной матрицепоявится строка, где, то это говорит о несовместности исходной системы уравнений. Базисные неизвестные указывают, выписывая базисный минор преобразованной матрицы системы. Базисными являются неизвестные преобразованной системы, столбцы коэффициентовпри которых образуют базисный минор (определитель максимального порядка, отличный от нуля). Свободными являются неизвестные, не являющиеся базисными.

В результате обратного хода находят решение системы, записывая его в виде общего решения, если их бесконечно много. Преобразования обратного хода часто выполняют, над уравнениями системы, соответствующей последней расширенной матрице прямого хода. В случае единственного решения, его получают, находя последовательно значения всех неизвестных из уравнений системы, начиная с последнего. В случае, когда решений бесконечно много, их записывают в виде общего решения. Для этого свободным неизвестным придают разные произвольные постоянные значения:,,…,, и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находят значения всех базисных неизвестных. Полученное решение называют общим. Придавая произвольным постоянным, конкретные значения, находят частные решения системы уравнений.