DM_shpory

21. Иерархия систем с двумя бинарными операциями. Кольцо. Тело. Поле (коммутативное тело). Поле Галуа.

Кольцом называется непустое множество R, для элементов которого определены две бинарные операции — сложение и умножение (обозначаемые + и × соответственно; знак × обычно опускается), причем предполагаются выполненными следующие аксиомы колец (a, b, c Î R):

Коммутативность сложения: a + b = b + a.
Ассоциативость сложения:
a + (b + c) = (a + b) + c.
Обратимость сложения (возможность вычитания): уравнение a + x = b имеет решение x = b - a Î R.
Дистрибутивность умножения относительно сложения:

a (b + c) = a b + a c и (b + c) a = b a + c a.

Если , то кольцо называют ассоциативным;
если , альтернативным;
если ab = ba и , йордановым;
если a2 = a, a(bc) + b(ca) +c(ab) = 0, то оно называется кольцом Ли;
если ab = ba , то кольцо называется коммутативным.

Примеры колец:

множество всех целых чисел;

множество всех четных чисел и вообще целых чисел, кратных данному числу m;

множество всех рациональных чисел;

множество всех многочленов от одного или нескольких переменных с рациональными, действительными или комплексными коэффициентами;

множество всех функций, непрерывных на данном отрезке числовой прямой

Тело есть такая система (A, + , ×), что система (A, +) является абелевой группой, а система (A¢, ×), где A¢ получается из A удалением нулевого элемента (т.е. нейтрального элемента абелевой группы), является группой и операция × дистрибутивна относительно операции + .
Теорема. Кольцо является телом тогда и только тогда, когда оно содержит не менее двух элементов и оба уравнения ax = b и xa = b, разрешимы для любых элементов a, bÎ A, где a ¹ 0.
Тело служит обобщением системы (Q, + , ×) рациональных чисел, однако требование коммутативности умножения опускается.
Теорема Веддербёрна Всякое конечное тело коммутативно.
Поле может быть определено как множество, содержащее не менее двух элементов, на котором заданы две бинарные алгебраические операции — сложение и умножение, обе ассоциативные и коммутативные, связанные между собой законом дистрибутивности, т.е. для любых a, b, c из поля справедливо:

a + b = b + a , ab = ba ,

(a + b) + c = a + (b + c), (ab) c = a (bc),

(a + b) c = ac + bc .

Кроме того, в поле требуется существование нулевого элемента 0 (нуля), для которого 0 + a = a , и для каждого элемента a противоположного элемента –a, то есть такого элемента, что a + (–a ) = 0, а также существование единичного элемента e (единицы), для которого ae = a, и для каждого ненулевого элемента a существование обратного элемента a–1, т.е. такого элемента, что aa–1 = e. Отсюда следует, что в поле выполнимы операция вычитания, а также операция деления на ненулевой элемент. Таким образом, все элементы поля образуют абелеву группу по сложению (аддитивная группа поля), а все ненулевые элементы — абелеву группу по умножению (мультипликативная группа поля).

Содержание