Ряд фурье по орто сист ф-ций на отрезке. Формулы коэфф.

{O}пусть ф-ция f(x) непрерывна не [a b] и {φ_n(x)} ортог сист ф-ций на [a b] то говорят что f(x) разложима в ряд фурье по ортогон ф-циям {φ_n(x)} на [a b] если сушь такая числ послед {a_n} что функц ряд Σ_n=1a_nφ_n(x) сход на [a b] и сумма этого ряда f(x) т.е f(x)=Σ_n=1a_nφ_n(x) (1) x[a b] a_n- назыв коэфф ряда фурье а сам ряд (1) рядом фурье по ортогон сист ф-ции {φ_n(x)} на [a b] коэфф фурье {O} Пусть f(x) непрерывна на [a b] причем xφ_n(x)=/=0 на [a b] и пусть ряд Σ_n=1a_nφ_n(x) схлд равномерно на [a b] к ф-ции f(x) тогда справедл ф-ла a_n=_a^bf(x)φ_n(x)dx/ _a^bφ_n²(x)dx (2) {Д} По теорем е Вейрштрасса о непрер ф-циях на отрезке ф-ция φ_n(x) огранич на [a b] , ряд фурье для этой ф-ции f(x)=Σ_n=1a_nφ_n(x) (3) по усл этот ряд сход равн на [a b] умножим (3) на φ_m(x), f(x)φ_m(x)=Σ_n=1a_nφ_n(x)φ_m(x) можно док что если равномерн сход ряд умножить на огранич ф-цим, то получ ряд также будет равномерно сходится и поэтому по св-ву равномерно сход рядов , такой ряд можно интегрировать почленно. _a^bf(x)φ_m(x)dx=Σ_n=1a_{n a}^bφ_n(x)φ_m(x)dx из опред ортогнальной ф-ции _a^bf(x)φ_m(x)dx=a_{m a}^bφ_n²(x)dx a_m= _a^bf(x)φ_m(x)dx/_a^bφ_n²(x)dx(2)/ {O}{O}применем к тригоном ряду фурье f(x)=a₀/2+Σ_n=1a_ncosnπx/l+b_nsinnπx/l где из формулы (2) можно получить след ф-лы a₀=1/l_-l^lf(x)dx a_n=1/l_-l^lf(x)cosnπx/ldx b_n=1/l_-l^lf(x)sinnπx/ldx Если f(x) четная на [-l l] то по св-ву опред интеграла в в симметрич пределах интегрир  a₀=2/l₀^lf(x)dx a_n=2/l₀^lf(x)cosnπx/ldx b_n=0 (sin нечет) аналогично если f(x) начетна на [-l l]  a₀=0 a_n=0 b_n=2/l₀^lf(x)sinnπx/ldx из получ результата  решен задач 1) разложение f(x) в ряд фурье по cos 2) разлож в ряд фурье по sin.

24. Содержание

    • Числ послед и пределы
    • Опред ряда частн суммы ряда.
    • Необх признак сход ряда.
    • Критерий сход знакопост рядов.
    • Интегральн признак сход.
    • Призр срав в ф-ме нерав.
    • Призр срав в ф-ме рав.
    • Призн Деламбера ф-ме нерав.
    • Призн Деламбера в пред ф-ме.
    • Признак Коши в ф-ме нерав и в пред ф-ме.
    • Абсолют и усл сход рядов.
    • Теорема об абс сход рядов.
    • Знакочеред ряды признак лейбница.
    • Функц ряды.
    • Форм св-ва равномер сход рядов.
    • Степ ряд т Абеля
    • Интегр и дофф степ рядов.
    • Разл ф-ции в степ ряд Ряд тейтора.
    • Условие разлож ф-ции в ряд Тейлора.
    • Методы разл в ряд Тейлора.
    • Опред ортогональ сист на отрезке.
    • Ряд фурье по орто сист ф-ций на отрезке. Формулы коэфф.
    • Переод ф-ции и их св-ва.
    • Теорема Дирихле.
    • Разлож в ряд фурье по sin и cos.
    • Ряд фурье в комплексной ф-ме.
    • Интеграл фурье в действ ф-ме.
    • Интеграл фурье в комплекс форме.