Особенность, построение ограниченного решения .

Будем искать решение уравнения Бесселя в виде ряда Тейлора, умноженного на :. Подставим это решение в уравнение,, найдём коэффициенты и выберем ограниченное решение.

Подставив решение в уравнение, сравниваем коэффициенты при разных степенях:

Пусть . Таким образом :. Вычислим коэффициент, и выразим его через.

, коэффициент выбираем произвольно:, где.

Таким образом, получили коэффициенты ряда: , т.к..

Запишем формальный ряд: , если, тогда решение ограничено. Оно решение, т.к. ряд сходится для любыхпо признаку Даламбера:, сходится при всех, радиус сходимости равен бесконечности. Таким образом, мы получили единственное, с точность до множителя решение:- функция Бесселя первого рода – это первое базисное решение.

Случай рассмотрен в следующем пункте.

14. Содержание

    • Оглавление
    • Первая и вторая формулы Грина с оператором, следствия.
    • Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства.
    • Примеры
    • Свойства гармонических функций.
    • Теорема о среднем для гармонических функций
    • Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле.
    • Следствия:
    • Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений.
    • Функция Грина для задачи с уравнением, понятия, определения.
    • Решение задач с её помощью
    • Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке
    • Теория потенциалов, определение, основные свойства.
    • Объёмный потенциал
    • Потенциал простого слоя
    • Потенциал двойного слоя
    • Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов
    • Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах:
    • Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры.
    • Уравнение с операторомс особенностью, свойства, ограниченность, постановка задачи.
    • Уравнение Бесселя.
    • Особенность, построение ограниченного решения .
    • Общее решение, ,,,понятие о функциях .
    • Асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя.
    • Краевая задача на собственные значения: ,её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д.
    • Модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции .
    • Сводная таблица.
    • Краевая задачас двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора.
    • Уравнение гипергеометрического типа.
    • Приведение к самосопряжённому виду. Весовые функции . Уравнение для производных(в следующем пункте).
    • Решение в виде полиномов. Формула Родрига.
    • Ортогональные решения полиномов. Свойства нулей.
    • Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов
    • Полиномы Лежандра.
    • Полиномы Чебышева-Лягера.
    • Чебышева-Эрмита.
    • Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида.
    • Уравнения, краевая задача для присоединенных полином Лежандра. Решения. Основные свойства.
    • Уравнение Лапласа в сферических координатах. Схема решения методом разделения переменных.
    • Сферические функции, определения, построение системы базисных функций. Ортогональность, полнота, теорема о разложении, б/д.