12.3. Признаки отрицательности действительных частей корней многочлена

Рассмотрим многочлен -ой степени с действительными коэффициентами

, (12.7)

.

ТЕОРЕМА (необходимое условие отрицательности действительных частей корней многочлена). Для того чтобы действительные части всех корней многочлена с действительными коэффициентами были отрицательны, необходимо, чтобы все коэффициенты многочлена были одного знака.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим многочлен (12.7) и будем считать, что . Данный многочлен имеет ровнокорней, действительных или комплексных, а так как все его коэффициенты действительны, то комплексные корни встречаются комплексно сопряженными парами, то есть корни (12.7) имеют вид:или.

При разложении (12.7) на множители корню соответствует множитель вида, коэффициенты которого положительны.

Паре комплексно сопряженных корней соответствуют два множителя

. Так как по условию , то и здесь все коэффициенты положительны.

Таким образом, при разложении на множители получим произведение линейных и квадратичных сомножителей с положительными коэффициентами. Следовательно, после раскрытия скобок все коэффициенты многочлена будут положительными. Кроме того, так как, многочленбудет содержать все степениот-ой до нулевой, то есть среди его коэффициентов нулевых тоже не будет. Что и требовалось доказать.

ЗАМЕЧАНИЕ. Сформулированное необходимое условие не является достаточным для всех многочленов старше второй степени. Для квадратного трехчлена положительность всех его коэффициентов – необходимое и достаточное условие того, что . Это очевидным образом следует из теоремы Виета.

ПРИМЕР. Нетрудно проверить, что корнями многочлена третьей степени являются числа, хотя все его коэффициенты положительны.

Сформулируем (без доказательства) две теоремы, которые дают необходимые и достаточные условия отрицательности действительных частей корней многочлена. Такие теоремы называются критериями.

ТЕОРЕМА (Критерий Рауса-Гурвица). Необходимым и достаточным условием отрицательности действительных частей всех корней многочлена (12.7) является положительность всех главных диагональных миноров матрицы Рауса-Гурвица:

. (12.8)

Матрица Гурвица устроена следующим образом: на ее главной диагонали стоят все коэффициенты многочлена, начиная с , в столбцах стоят коэффициенты с номерами соответствующей четности, именно: в первом – нечетные, во втором – четные и т.д. Когда нужные коэффициенты заканчиваются, оставшиеся места в столбце заполняются нулями. Таким образом, в последней строке матрицы Рауса-Гурвица только один ненулевой элемент.

Главными диагональными минорами матрицы являются

, …, .

Критерий Рауса-Гурвица не очень удобен для исследования корней многочлена достаточно высокой степени, так как требует вычисления, как минимум, главных диагональных миноров матрицы-го порядка (без первого и последнего, знак которых очевиден). Более удобным является эквивалентный ему критерий Льенара-Шипара.

ТЕОРЕМА (критерий Льенара-Шипара). Для того чтобы действительные части всех корней многочлена (12.7) были отрицательны, необходимо и достаточно, чтобы , где– главные диагональные миноры матрицы Гурвица-го порядка.

ПРИМЕР. Проверить, являются ли отрицательными действительные части корней многочлена .

У этого многочлена .    Необходимое условие отрицательности действительных частей корней не выполнено, значит, среди корней есть такие, у которых.

ПРИМЕР. Исследовать на устойчивость решения дифференциального уравнения

а) ; б).

а) Все решения неоднородного линейного дифференциального уравнения в смысле устойчивости ведут себя, как нулевое решение соответствующего однородного уравнения . Его характеристическое уравнение имеет вид:.

Необходимое условие отрицательности действительных частей корней этого многочлена выполнено, поэтому составим матрицу Гурвица:

.

По критерию Льенара-Шипара вычислим главный диагональный минор второго порядка ():. Значит, среди корней есть числа с положительной действительной частью, а потому нулевое решение однородного дифференциального уравнения неустойчиво, что, в свою очередь, означает неустойчивость всех решений исходного неоднородного уравнения.

б) Рассуждая аналогично, составим характеристическое уравнение соответствующего однородного дифференциального уравнения:

.

Матрица Гурвица для этого многочлена – матрица четвертого порядка:

.

Следовательно, по критерию Льенара-Шипара все, поэтому все частные решения исследуемого дифференциального уравнения асимптотически устойчивы.