11.2. Решение систем линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейную однородную систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

(11.4)

где .

Будем искать решение (11.4) в виде , или, где– некоторый постоянный вектор. Очевидно,, поэтому после подстановкив (11.4) получим:

,

где – единичная матрица-го порядка. Запишем последнее равенство в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных:

(11.5)

Как известно (см.гл.1), однородная система линейных алгебраических уравнений имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, то есть

. (11.6)

Уравнение (11.6) называется характеристическим уравнением матрицы . Оно является уравнением-ой степени относительнои потому имеет ровнокорней – действительных или комплексных.

Корни характеристического уравнения (11.6) называются собственными значениями матрицы .

Решим (11.6) и найдем все собственные значения матрицы А.

Подставляя каждое из них в (11.5), будем получать систему линейных однородных уравнений с нулевым определителем. Любое нетривиальное решение этой системы называетсясобственным вектором матрицы , соответствующим собственному значению.

Можно показать, что если уравнение (11.6) не имеет кратных корней, то существует линейно независимых собственных векторов, то есть таких векторов, ни один из которых не выражается через другие с помощью линейной комбинации.

Найдя для каждого собственного значения матрицы собственный вектор, получимлинейно независимых решений системы (11.4):. Тогда по теореме о структуре общего решения линейной однородной системы общее решение запишется в виде .

Решение системы (11.4) зависит от характера корней характеристического уравнения (11.6): они могут быть действительными или комплексными, простыми или кратными.

Рассмотрим на примерах всевозможные случаи.

1) Все корни (11.6) действительны и различны.

ПРИМЕР. Решить систему дифференциальных уравнений:

.

Составим характеристическое уравнение (11.6) :

–собственные значения матрицы .

Найдем собственные векторы.

а) . Подставим это значение в (11.5):

–векторная запись системы (11.5),

или – система трех линейных уравнений с определителем. Заметим, что ранг основной матрицы этой системы равен 2, поэтому система имеет одну свободную переменную. Выберем любые два уравнения, зададим одну из переменных произвольно (например,) и найдемчастное решение: .

ЗАМЕЧАНИЕ. Так как основной определитель системы (11.5) равен нулю, то алгебраические дополнения элементов любой ее строки являются частными решениями:(напомним, что, где– дополнительный минор). Действительно, полагая, например,, получим:

– по свойствам 7, 8 определителей (см. гл.1). Следовательно, – одно из частных решений системы (11.5).

Таким образом, чтобы найти частное решение системы (11.5), можно найти алгебраические дополнения к элементам любой, например, первой строки ее основной матрицы.

б) . Подставим это значение в (11.5):

.

Найдем алгебраические дополнения к элементам первой строки матрицы системы:

Отсюда .

в)

.

Таким образом, общее решение данной системы дифференциальных уравнений имеет вид: , или.

ЗАМЕЧАНИЕ. При решении характеристического уравнения можно пользоваться формулой:

,

где – сумма главных диагональных миноров,.

2) Характеристическое уравнение (11.6) имеет простые комплексные корни.

ПРИМЕР. Решить систему дифференциальных уравнений:

.

Составим характеристическое уравнение :

–собственные значения матрицы .

Так как найденные собственные значения комплексные, то решение данной системы также будет комплексным. Однако ранее было доказано, что и действительная часть , и мнимая частькомплексного решениятакже являются решениями линейной однородной системы дифференциальных уравнений. Поэтому для того, чтобы получить в таком случае парудействительных линейно независимых решений, найдем решение , соответствующееодному из собственных значений, и примем .

Итак,

–комплексное решение, соответствующее собственному значению .

По формуле Эйлера

Общее решение имеет вид: .

3) Характеристическое уравнение (11.6) имеет кратные действительные корни.

ПРИМЕР. Решить систему дифференциальных уравнений:

.

Составим характеристическое уравнение :

–собственные значения матрицы .

Найдем собственный вектор, соответствующий :

–первое частное решение системы.

Так как второго собственного вектора, отличного от найденного , матрицане имеет, будем искатьв таком виде:.

Подставим эти функции в исходную систему дифференциальных уравнений:

.

Сокращая на и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим:

. (11.7)

Нетрудно убедиться, что ранг основной матрицы полученной системы линейных уравнений равен 2, а так как число неизвестных 4, то система имеет две свободные переменные и два линейно независимых решения (см. гл.1). Пусть . Полагая, получим, что.

Итак, второе частное решение исходной системы дифференциальных уравнений имеет вид , а общее решение –.

Замечание. Если в (11.7) задать , то получим уже найденное решение. Поэтому в случае кратных собственных значений для системы дифференциальных уравнений второго порядка можно, не находя , сразу искать решения в виде. Найдя два линейно независимых решения системы уравнений, аналогичной (11.7), получими.

Однако, если система линейных однородных дифференциальных уравнений имеет порядок, больший двух, кратным собственным значениям кратности могут соответствоватьлинейно независимых собственных векторов.

ПРИМЕР. Решить систему дифференциальных уравнений:

.

Составим и решим характеристическое уравнение:

.

Очевидно, что – корень этого уравнения. Разделивна, получим:. Откуда.

а) . Так как ранг матрицы полученной системы равен 1, то она имеет две свободные переменные и два линейно независимых решения (см.гл.1), а потому существует два линейно независимых собственных вектора для собственного значения:

.

б) .

Так как все собственные векторы, соответствующие одному собственному значению, отличаются на постоянный множитель, то примем .

Отсюда и общее решение этой системы дифференциальных уравнений имеет вид:.

Таким образом, можно сделать следующий вывод: если собственному значению кратностисоответствует тольколинейно независимых собственных векторови, соответственно,решений системы дифференциальных уравнений, то недостающиерешений следует искать в виде векторного многочлена степени, умноженного на :

.

Чтобы найти векторы , надо это решение подставить в исходную систему.