Потенциал простого слоя

Потенциал поля, созданного зарядами, распределёнными по поверхности с плотностью , равен и называется потенциалом простого слоя.

Свойство 1. Потенциал простого слоя определён всюду.

Если (не принадлежит несущей поверхности ), это очевидно, т.к. имеет конечное значение для любых р.

Если , то интеграл является несобственным по двумерной области . Из математического анализа известно, что несобственный интеграл по двумерной области абсолютно сходится, если , в нашем случае , следовательно, интеграл сходится.

Свойство 2. Потенциал простого слоя и непрерывен всюду.

Если , то интеграл не является не собственным, и его непрерывность следует из непрерывности подынтегральной функции .

Если , то, согласно теореме и замечанию, достаточно доказать равномерную сходимость, интеграла в окрестности точки . Для этого оценим интеграл по части поверхности , содержащей точку и имеющей диаметр меньший, чем . Пусть - произвольная точка, причем: . Пусть - проекция поверхности на плоскость , а круг на плоскости с центром в точке радиуса . Проекция на плоскость элемента поверхности равна: . Оценим:

вводим полярную систему координат с началом в точке , тогда легко вычислить последний интеграл, он равен: .

Достаточно взять для того, чтобы выполнялось неравенство .

Свойство 3. Потенциал простого слоя является гармонической функцией всюду, кроме точек несущей поверхности .

Это свойство очевидно, так как для точек интеграл не является несобственным и поэтому:

Свойство 4. нормальные производные потенциала простого слоя имеют разрыв первого рода в точках поверхности со скачком .

Свойство 5. если несущая поверхность ограничена, то потенциал простого слоя стремится к нулю, когда точка стремится к бесконечности.

Применим к интегралу теорему о среднем: , где - суммарный заряд.

Т.о.