10.2.5. Дифференциальные уравнения

В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальное уравнение первого порядка вида

называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть его является полным дифференциалом некоторой функции . Это имеет место, если.

ПРИМЕРЫ.

а) – это уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка. Перепишем его таким образом:

. Тогда

.

Значит, это не только однородное дифференциальное уравнение, но и уравнение в полных дифференциалах.

б) . Так как для этого дифференциального уравнения, оно не является уравнением в полных дифференциалах, хотя, так же как и предыдущее, является однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

По теореме о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования (см.гл. 9) для того, чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции, необходимо и достаточно выполнение равенства. Поэтому, если, то существует функциятакая, что ее полный дифференциал. Но нулевым является полный дифференциал лишь постоянной функции, значит, если– решение уравнения, то.

Таким образом, для того чтобы решить дифференциальное уравнение в полных дифференциалах, надо найти функцию , после чего общий интеграл уравнения запишется в виде.

ПРИМЕР. Решить задачу Коши .

В данном уравнении , поэтому данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Так как условиевыполнено, то существует функциятакая, что.

По определению полного дифференциала .

Сравнив эти два выражения, получим систему дифференциальных уравнений для нахождения неизвестной функции :.

Рассмотрим первое уравнение системы . Частная производная по, как известно (см.гл.6), вычисляется при условии, поэтому чтобы найти из этого равенства, проинтегрируем его в том же предположении:

.

Подчеркнем, что в рамках условия постоянная интегрирования будет зависеть оту.

Подставим теперь найденную функцию во второе уравнение системы: . Отсюда получим– уравнение для определения неизвестной функции.

Найдем ее: .

Таким образом, общий интеграл исходного дифференциального уравнения имеет вид , илигде.

По начальному условию , поэтомуи

–решение поставленной задачи Коши.