Отображения.

Отображение – одно из основных понятий математики. Отображение есть какое-либо правило или закон соответствия множеств. Пусть и – произвольные непустые множества. Говорят, что задано отображение множества на множество (запись: или ) если каждому элементу множества (  поставлен соответствие единственный, однозначно определенный элемент множества ( .

Элемент называется образом элемента при отображении , а элемент называется прообразом элемента при этом отображении. Образом множества элементов при отображении называется множество всех элементов вида , принадлежащих области значений . Множество всех элементов ( ), образы которых составляют область значений называется прообразом множества элементов ( ). Множество называется областью определения отображения .

Отображение называется сюръективным, когда каждый элемент множества (  имеет хотя бы один прообраз множества ( , т.е. , или .

Отображение называется инъективным, когда каждый элемент множества (  является образом лишь одного элемента множества ( , т.е. образы любых двух различных элементов множества различны, т.е. из следует .

Отображение называется биективным или взаимно однозначным, когда оно одновременно инъективно и сюръективно, т.е. каждый элемент множества является образом одного и только одного элемента множества .

Равенство двух отображений и означает по определению, что их соответствующие области совпадают ( и ), причем .

Произведение двух отображений и можно определить как отображение , которое каждому элементу множества ставит в соответствие элемент множества .

Отображение множества на множество иначе называется функцией на множестве со значениями в множестве . Если множества и совпадают, то биективное отображение множества на себя называется преобразованием множества . Простейшее преобразование множества – тождественное – определяется так: . Тождественное отображение , переводящее каждый элемент в себя, также называют единичным преобразованием. Если заданы преобразования и , то преобразование , являющееся результатом последовательного выполнения сначала преобразования , а затем и преобразования , называется произведением преобразований и : .

Для преобразований , и одного и того же множества справедливы следующие законы:

Коммутативный закон для произведения преобразований в общем случае не выполняется, т.е. .

Если между двумя множествами можно задать биективное отображение (установить взаимно однозначное соответствие между их элементами) то такие множества называются эквивалентными или равномощными. Конечные множества равномощны только в том случае, когда число их элементов одинаково.

Бесконечные множества также можно сравнивать между собой.

Два множества имеют одинаковую мощность или называются эквивалентными (обозначение ), если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, т.е. если можно указать некоторое правило, в соответствии с которым каждому элементу одного из множеств соотносится один и только один элемент другого множества.

Если же подобное отображение невозможно, то множества имеют различную мощность; при этом оказывается, что в последнем случае, каким бы образом мы не пытались привести в соответствие элементы обоих множеств, всегда останутся лишние элементы и притом всегда от одного и того же множества, которому приписывается более высокое значение кардинального числа или говорят, что это множество имеет бόльшую мощность.

Бесконечное множество и некоторое его подмножество могут быть эквивалентными.

Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным множеством. Для того чтобы множество было счетным, необходимо и достаточно, чтобы каждому элементу множества был поставлен в соответствие его порядковый номер . Из всякого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество. Всякое подмножество счетного множества является счетным или конечным. Счетное множество является наиболее примитивно организованным бесконечным множеством. Декартово произведение двух счетных множеств является счетным. Объединение конечного или бесконечного числа конечных или счетных множеств является конечным или счетным множеством.