Хід заняття
І. Мотивація. Учні відтворюють на дошці доведення вище перелічених тверджень.
1-й учень
Д ано: ΔАВС, АL1,ВL2,СL3 – бісектриси.
Довести: АL1∩ВL2∩СL3 = I.
Доведення. АL1∩ВL2 = I (за теоремою про пряму, що не проходить через жодну з вершин трикутника і перетинає одну з його сторін. Розглянути ΔВL2С і пряму АL1).
ІК АС, ІМ АВ, ІN BC. IK=IM=IN (за властивістю точок бісектриси кута).
Оскільки точка І рівновіддалена від сторін АСВ, то І СL3. Отже, АL1∩ВL2∩СL3 = I.
2-й учень
Дано: ΔАВС, АН1,ВН2,СН3 – висоти.
Д овести: АН1∩ВН2∩СН3 = Н.
Доведення. Проведемо через вершини ΔАВС прямі паралельні протилежним сторонам:
В С1А1, С1А1||АС; С В1А1, В1А1||АВ; А В1С1, В1С1||СВ.
Для ΔА1В1С1 висоти ΔАВС є серединними перпендикулярами, що перетинаються, як відомо, в одній точці.
Отже, АН1∩ВН2∩СН3 = Н.
3 -й учень
Дано: ΔАВС, АМ1,ВМ2,СМ3 – медіани.
Довести: АМ1∩ВМ2∩СМ3 = М,
АМ:ММ1 = ВМ:ММ2 = СМ:ММ3 =2:1.
Доведення. АМ1∩ВМ2 = М (за теоремою про пряму, що не проходить через жодну з вершин трикутника і перетинає одну з його сторін. Розглянути ΔВМ2С і пряму АМ1). К АМ, АК = КМ; L ВМ, ВL = LМ.
Чотирикутник КLМ1М2 – паралелограм (ознака за двома протилежними сторонами). Тоді КМ = ММ1. Оскільки КМ = АМ, то ММ1 = АМ. Отже, АМ:ММ1 = 2:1.
Аналогічно доводиться рівність ВМ: ММ2 =2:1.
Припустимо, що М СМ3 і, нехай СМ3∩АМ1 = М', М' відмінна від М. Тоді АМ':М'M1 =2:1, чого бути не може. Отже, точки М і М' збігаються.
Рівність СМ:ММ3 =2:1 доводиться аналогічно доведенню попередніх рівностей.
Учитель звертає увагу учнів на різноманітність доведень і підводить до запитання: «Чи можна довести перетин бісектрис, висот і медіан трикутника використовуючи одну спільну ідею доведення?»
II. Формулювання і доведення теореми Чеви.
Учитель повідомляє учням, що довести попередні твердження можна, якщо знати наступну теорему.
Теорема Чеви. Прямі, що проходять через вершини ΔАВС і перетинають його сторони АВ, ВС, СА (або їх продовження) відповідно в точках С1, А1 і В1, перетинаються в одній точці тоді і тільки тоді, коли виконується рівність
.
Д оведення теореми складається з двох частин.
- Позакласна робота з математики Всеукраїнська олімпіада з математики
- I етап. Шкільна олімпіада
- II етап. Районна (міська) олімпіада
- III етап. Обласна (в Автономній Республіці Крим - республіканська, у містах Києві та Севастополі — міська) олімпіада
- IV етап. Державна олімпіада
- Мала академія наук
- Критерії оцінки конкурсу науково-дослідницьких робіт учнів членів Малої академії наук України
- Конспект заняття математичного гуртка. 9-й клас
- Хід заняття
- Доведення необхідності
- Тому .
- Література
- Завдання для проведення математичної вікторини Запитання і туру
- Запитання II туру
- Короткі довідки з проведення поширених ігор